أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

مشتقتا الاقتران الأسي الطبيعي والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي

مشتقة الاقتران الأسي الطبيعي

أتحقق من فهمي صفحة 74

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f (x) = 2 e^{x} + 3$

$f^{'} (x) = 2 e^{x}$

(b) $f (x) = \sqrt[3]{x} + e^{x}$

$f^{'} (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + e^{x} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} + e^{x}$

(c) $y = x e^{x}$

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} + e^{x} = e^{x} (x + 1)$

مشتقة الاقتران الأسي الطبيعي، وقاعدة السلسة

أتحقق من فهمي صفحة 75

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f (x) = e^{7 x + 1}$

$f^{'} (x) = 7 e^{7 x + 1}$

(b) $f (x) = e^{x^{3}}$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

(c) $f (x) = 5 e^{\sqrt{x}}$

$f^{'} (x) = \frac{5}{2 \sqrt{x}} e^{\sqrt{x}}$

أتحقق من فهمي صفحة 76

قمر صناعي: تُستعمل مادة مشعّة لتزويد قمر صناعي بالطاقة. ويمكن نمذجة مقدار الطاقة المتبقيّة في المادة المشعة (بالواط) باستعمال الاقتران: $P (t) = 50 e^{- 0.004 t}$ ، حيث t الزمن بالأيام. أجد معدل تغير الطاقة المتبقية في القمر الصناعي بعد 500 يوم، مفسراً معنى الناتج.

$\begin{aligned} P^{'} (t) = 50 (- 0 .004) e^{- 0 .004 t} = - 0 .2 e^{- 0 .004 t} \\ P^{'} (500) = - 0 .2 e^{- 0 .004 (500)} = - 0 .2 e^{- 2} \approx - 0 .03 \end{aligned}$

تتناقص الطاقة المتبقية بمعدل 0.03 واط لكل يوم بعد 500 يوم.

مشتقة الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي

أتحقق من فهمي صفحة 78

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f (x) = 4 \ln x$

$f^{'} (x) = \frac{4}{x}$

(b) $f (x) = \sqrt{x} + \ln x$

$f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{x}$

(c) $y = \frac{\ln x}{x}$

$f^{'} (x) = \frac{(x) (\frac{1}{x}) - (l n x) (1)}{x^{2}} = \frac{1 - l n x}{x^{2}}$

مشتقة الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي، وقاعدة السلسلة

أتحقق من فهمي صفحة 80

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f (x) = \ln (8 x)$

$f^{'} (x) = \frac{8}{8 x} = \frac{1}{x}$

(b) $f (x) = 2 \ln (x^{7})$

$f^{'} (x) = 2 \times \frac{7 x^{6}}{x^{7}} = \frac{14}{x}$

(c) $f (x) = \ln (9 x + 2)$

$f^{'} (x) = \frac{9}{9 x + 2}$