أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

المشتقة الثانية والسرعة المتجهة والتسارع

المشتقة الثانية

أتحقق من فهمي صفحة (101)

أجد المشتقة الثانية لكل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + \cos x$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x - s i n x \\ f^{''} (x) = 12 x^{2} - 6 - c o s x \end{aligned}$

(b) $f (x) = \frac{2}{x^{3}}$

$\begin{aligned} f (x) = \frac{2}{x^{3}} = 2 x^{- 3} \\ f^{'} (x) = - 6 x^{- 4} = - \frac{6}{x^{4}} \\ f^{''} (x) = 24 x^{- 5} = \frac{24}{x^{5}} \end{aligned}$

السرعة والتسارع، الحركة على خط مستقيم

أتحقق من فهمي صفحة (103)

يمثل الاقتران: $s (t) = 3 t^{2} - t^{3}, t \geq 0$ موقع جسم يتحرّك في مسار مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار و t الزمن بالثواني:

(a) ما سرعة الجسم المتجهة عندما t = 3 ؟

$\begin{aligned} v (t) = 6 t - 3 t^{2} \\ v (3) = 6 (3) - 3 (3)^{2} = 18 - 27 = - 9 m / s \end{aligned}$

(b) في أي اتجاه يتحرك الجسم عندما t = 3 ؟

بما أن إشارة السرعة المتجهة سالبة، فإن الجسم يتحرك في الاتجاه السالب (إلى اليسار) عندما t = 3 .

$\begin{aligned} a (t) = 6 - 6 t \\ a (3) = 6 - 6 (3) = - 12 m / s^{2} \end{aligned}$

(d) أجد قيم t التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما تكون سرعته المتجهة 0

$\begin{aligned} 6 t - 3 t^{2} = 0 \\ 3 t (2 - t) = 0 \\ t = 0 or t = 2 \end{aligned}$

أتحقق من فهمي صفحة (104)

فهد: يمكن نمذجة موقع فهد يطارد فريسته على أرض مستوية متحركاً في خط مستقيم باستعمال الاقتران: $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ ، حيث t الزمن بالثواني و s الموقع بالأمتار:

(a) ما سرعة الفهد المتجهة بعد3 ثوانٍ من بدء حركته؟

$\begin{aligned} v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9 \\ v (3) = 3 (3)^{2} - 12 (3) + 9 = 27 - 36 + 9 = 0 m / s \end{aligned}$

(b) ما تسارع الفهد المتجهة بعد3 ثوانٍ من بدء حركته؟

$\begin{aligned} a (t) = 6 t - 12 \\ a (3) = 6 (3) - 12 = 6 m / s^{2} \end{aligned}$

يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما تكون سرعته المتجهة 0

$\begin{aligned} 3 t^{2} - 12 t + 9 = 0 \\ (3 t - 3) (t - 3) = 0 \\ t = 1 or t = 3 \end{aligned}$