مسألة اليوم

مسألة اليوم

التكامل بالتعويض

$الكتلة الحيوية للأسماك$ يمثل الاقتران G(t) الكتلة الحيوية لمجتمع أسماك في بحيرة بعد t سنة من بدء دراستها، حيث G مقيسة بالكيلوغرام. إذا كان معدل تغير الكتلة الحيوية للأسماك هو $G^{'} (t) = \frac{60000 e^{- 0.6 t}}{{(1 + 5 e^{- 0.6 t})}^{2}}$ مقيساً بوحدة (kg/year)، وكانت الكتلة الحيوية للأسماك عند بدء الدراسة هي 25000 kg ، فأجد الكتلة الحيوية المتوقعة للأسماك بعد 20 سنة من بدء الدراسة.

أفرض أن:

$\begin{aligned} u = 1 + 5 e^{- 0 .6 t} \\ \frac{d u}{d t} = - 3 e^{- 0 .6 t} \Rightarrow d t = \frac{d u}{- 3 e^{- 0 .6 t}} \\ G (t) = \int \frac{60000 e^{- 0 .6 t}}{u^{2}} \times \frac{d u}{- 3 e^{- 0 .6 t}} \\ = \int - 20000 u^{- 2} d u \\ = 20000 u^{- 1} + C \\ G (t) = \frac{20000}{1 + 5 e^{- 0 .6 t}} + C \\ G (0) = \frac{20000}{1 + 5} + C \\ 25000 = \frac{10000}{3} + C \Rightarrow C = \frac{65000}{3} \\ G (t) = \frac{20000}{1 + 5 e^{- 0 .6 t}} + \frac{65000}{3} \\ G (20) = \frac{20000}{1 + 5 e^{- 12}} + \frac{65000}{3} \approx 41666 kg \end{aligned}$