طباعة الدرس

مسألة اليوم

التكامل بالكسور الجزئية

يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{1}{x^3+x}$ .

أجد مساحة المنطقة المظللة منه.

$A={\int }_1^2\frac{1}{x^3+x} dx$

لإيجاد قيمة هذا التكامل نجزىء المقدار  إلى كسور جزئية يمكن إيجاد تكاملاتها بسهولة كما يأتي:

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{x^3+x}=\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}\\ & \Rightarrow 1=A(x^2+1)+(Bx+C)\left(x\right)\\ & x=0\Rightarrow A=1\\ & x=1\Rightarrow 1=2A+B+C\Rightarrow 1=2+B+C\\ & x=-1\Rightarrow 1=2A+B-C\Rightarrow 1=2+B-C\end{array}$

بحل هاتين المعادلتين نجد أن: B = -1 , C = 0

$\begin{array}{rl}A={\int }_1^2\frac{1}{x^3+x}dx& ={\int }_1^2(\frac{1}{x}+\frac{-x}{x^2+1})dx\\ & =ln\left|x\right|-{\frac{1}{2}ln|x^2+1||}_1^2\\ & =ln2-\frac{1}{2}ln5-ln1+\frac{1}{2}ln2\\ & =\frac{3}{2}ln2-\frac{1}{2}ln5=\frac{1}{2}ln\frac{8}{5}\end{array}$