إجابات كتاب التمارين

إجابات كتاب التمارين

تكامل اقترانات خاصة

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int \frac{1 - x^{2}}{5 x} d x$ (1)

$\begin{aligned} \int \frac{1 - x^{2}}{5 x} d x & = \int (\frac{1}{5 x} - \frac{x^{2}}{5 x}) d x \\ = \int (\frac{1}{5 x} - \frac{1}{5} x) d x \\ = \frac{1}{5} \ln | x | - \frac{1}{10} x^{2} + C \end{aligned}$

$\int (5 e^{x} + 4) d x$ (2)

$\int (5 e^{x} + 4) d x = 5 e^{x} + 4 x + C$

$\int (1 - e^{2 x - 3}) d x$ (3)

$\int (1 - e^{2 x - 3}) d x = x - \frac{1}{2} e^{2 x - 3} + C$

$\int (\sin 2 x - \cos 2 x) d x$ (4)

$\int (\sin 2 x - \cos 2 x) d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x - \frac{1}{2} \sin 2 x + C$

$\int \frac{3}{2 x - 1} d x$ (5)

$\int \frac{3}{2 x - 1} d x = \frac{3}{2} \ln | 2 x - 1 | + C$

$\int (5 - \sin (5 - 5 x)) d x$ (6)

$\int (5 - \sin (5 - 5 x)) d x = 5 x - \frac{1}{5} \cos (5 - 5 x) + C$

$\int \frac{1}{\frac{1}{3} x - 2} d x$ (7)

$\int \frac{1}{\frac{1}{3} x - 2} d x = 3 \ln | \frac{1}{3} x - 2 | + C$

$\int (2 x - 1 + \frac{8}{5 x + 4}) d x$ (8)

$\int (2 x - 1 + \frac{8}{5 x + 4}) d x = x^{2} - x + \frac{8}{5} \ln | 5 x + 4 | + C$

$\int (3 \cos x + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}) d x$ (9)

$\int (3 \cos x + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}) d x = 3 \sin x + 5 \ln | x | - \frac{4}{x} + C$

$\int (3 x + 2)^{5} d x$ (10)

$\int (3 x + 2)^{5} d x = \frac{1}{18} (3 x + 2)^{6} + C$

$\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 5} d x$ (11)

$\begin{aligned} \int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 5} d x & = \frac{1}{2} \int \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 5} d x \\ = \frac{1}{2} \ln | x^{2} + 2 x + 5 | + C \end{aligned}$

$\int (e^{2 x} - \frac{1}{2} \sin (2 x - 1)) d x$ (12)

$\int (e^{2 x} - \frac{1}{2} \sin (2 x - 1)) d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{1}{4} \cos (2 x - 1) + C$

$\int (\sin (2 x + 3) + \cos (3 x + 2)) d x$ (13)

$\begin{aligned} \int (\sin (2 x + 3) + \cos (3 x + 2)) d x \\ = - \frac{1}{2} \cos (2 x + 3) + \frac{1}{3} \sin (3 x + 2) + C \end{aligned}$

$\int (\frac{1}{8} x^{3 / 2} - \frac{4}{x}) d x$ (14)

$\int (\frac{1}{8} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{x}) d x = \frac{1}{20} x^{\frac{5}{2}} - 4 \ln | x | + C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x - 1}} d x$ (15)

$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{x - 1}} d x & = \int (x - 1)^{- \frac{1}{2}} d x \\ = 2 (x - 1)^{\frac{1}{2}} + C \\ = 2 \sqrt{x - 1} + C \end{aligned}$

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + 7 x} d x$ (16)

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 7 x} d x & = \int_{0}^{1} (1 + 7 x)^{\frac{1}{2}} d x \\ = {\frac{2}{21} (1 + 7 x)^{\frac{3}{2}} |}_{0}^{1} \\ = \frac{2}{21} (1 + 7 (1))^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{21} (1 + 7 (0))^{\frac{3}{2}} \\ = \frac{2}{21} \sqrt{512} - \frac{2}{21} \end{aligned}$

$\int_{0}^{1} e^{x} (4 - e^{x}) d x$ (17)

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} e^{x} (4 - e^{x}) d x & = \int_{0}^{1} (4 e^{x} - e^{2 x}) d x \\ = {(4 e^{x} - \frac{1}{2} e^{2 x}) |}_{0}^{1} \\ = 4 e - \frac{1}{2} e^{2} - \frac{7}{2} \end{aligned}$

$\int_{1}^{3} (1 + \frac{1}{x}) d x$ (18)

$\begin{aligned} \int_{1}^{3} (1 + \frac{1}{x}) d x & = {(x + \ln | x |) |}_{1}^{3} \\ = 2 + \ln 3 \end{aligned}$

(19) إذا كان ميل المماس لمحنى العلاقة هو $y$ : $b b b$ ، فأجد قاعدة العلاقة $\frac{d y}{d x} = 6 e^{2 x} + 2 e^{- x}$ ، علماً بأن منحناها يمر بالنقطة $(0, 2)$ .

$\begin{aligned} \begin{aligned} y = f (x) = \int (6 e^{2 x} + 2 e^{- x}) d x \\ = 3 e^{2 x} - 2 e^{- x} + C \\ y = f (x) = 3 e^{2 x} - 2 e^{- x} + C \\ f (0) = 2 \Rightarrow 3 - 2 + C = 2 \\ \Rightarrow C = 1 \\ \Rightarrow y = 3 e^{2 x} - 2 e^{- x} + 1 \end{aligned} \end{aligned}$

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران $f (x)$ ، ونقطة يمر بها منحنى $y = f (x)$ . أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران $f (x)$ :

$f^{'} (x) = e^{- x}; (0, 3)$ (20)

$\begin{aligned} f (x) = \int e^{- x} d x = - e^{- x} + C \\ f (0) = 3 \Rightarrow - 1 + C = 3 \\ \Rightarrow C = 4 \\ \Rightarrow f (x) = - e^{- x} + 4 \end{aligned}$

$f^{'} (x) = \frac{3}{x} - 4; (1, 0)$ (21)

$\begin{aligned} f (x) = \int (\frac{3}{x} - 4) d x \\ = 3 \ln | x | - 4 x + C \\ f (1) = 0 \Rightarrow - 4 + C = 0 \\ \Rightarrow C = 4 \\ \Rightarrow f (x) = 3 \ln | x | - 4 x + 4 \end{aligned}$

$f^{'} (x) = 4 e^{x} - 2; (0, 1)$ (22)

$\begin{matrix} f (x) = \int (4 e^{x} - 2) d x \\ = 4 e^{x} - 2 x + C \\ f (0) = 1 \Rightarrow 4 + C = 1 \\ \Rightarrow C = - 3 \\ \Rightarrow f (x) = 4 e^{x} - 2 x - 3 \end{matrix}$

(23) تلوث: يعالج التلوث في بحيرة باستعمال مضاد للبكتيريا. إذا كان عـدد الخلايا البكتيرية الضارة لكل مليلتر من الماء في البحيرة يتغير بمعدل: $N^{'} (t) = - \frac{2000 t}{1 + t^{2}}$ ، حيث $N (t)$ عدد الخلايا البكتيرية لكل مليلتر من الماء بعد $t$ يوماً من استعمال المضاد، فأجد $N (t)$ ، علماً بأن العدد الابتدائي للخلايا هو 5000 خلية لكل مليلتر.

$\begin{aligned} \begin{aligned} N (t) & = \int - \frac{2000 t}{1 + t^{2}} d t \\ = \int - \frac{1000 (2 t)}{1 + t^{2}} d t \\ = - 1000 \ln | 1 + t^{2} | + C \end{aligned} \\ \begin{aligned} N (0) = 5000 ⟹ - 1000 \ln | 1 + 0 | + C = 5000 \\ \Rightarrow C = 5000 \end{aligned} \\ \Rightarrow N (t) = - 1000 \ln | 1 + t^{2} | + 5000 \end{aligned}$

(24) أحدد أوجه الاختلاف بين التكاملين الآتيين من دون إيجاد التكامل:

صورة للسؤال 24

التكامل الأيسر هو مجموع تكاملين لاقترانين، أحدهما مثلثي هو $f (x) = 3 \sin 3 x$ والآخر ثابت هو $g (x) = 1$ .

بينما التكامل الأيمن هو اتقتران مثلثي واحد فقط هو $h (x) = 3 \sin (3 x + 1)$