طباعة الدرس

أتحقق من فهمي

الشرط الأولي

الشرط الأولي، وإيجاد قاعدة الاقتران

أتحقق من فهمي صفحة (16):

أجد قاعدة الاقتران f(x) إذا كان: ${\mathit{f}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{6}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{5}$ ، ومرّ منحناه بالنقطة (1, 9).

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int (6x^2+5) dx\\ & f\left(x\right)=2x^3+5x+C\\ & 9=2(1{)}^3+5(1)+C\\ & C=2\\ & f\left(x\right)=2x^3+5x+2\end{array}$

 

أتحقق من فهمي صفحة (17):

التكلفة الحدّية: يمثل الاقتران ${\mathit{C}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.3}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{x}$ التكلفة الحدية (بالدينار) لكل قطعة تُنتج في إحدى الشركات حيث x عدد القطع المنتجة، و C(x) تكلفة إنتاج x قطعة بالدينار. أجد اقتران التكلفة C(x) ، علماً بأن تكلفة إنتاج 10 قطع هي JD 2200 .

$\begin{array}{rl}& C\left(x\right)=\int (0.3x^2+2x)dx\\ & C\left(x\right)=0.1x^3+x^2+K\\ & 2200=0.1(10{)}^3+(10{)}^2+K\\ & 2200=100+100+K\\ & K=2000\\ & C\left(x\right)=0.1x^3+x^2+2000\end{array}$

---

الشرط الأولي: الحركة في مسار مستقيم

أتحقق من فهمي صفحة (18):

يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: v(t) = 36t – 3t² ، حيث t الزمن بالثواني، و v سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.

$\begin{array}{rl}& s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int (36t-3t^2) dt=18t^2-t^3+C\\ & 0=18(0{)}^2-(0{)}^3+C\\ & C=0\\ & s\left(t\right)=18t^2-t^3\\ & s\left(3\right)=18(3{)}^2-(3{)}^3\\ & =135\end{array}$

إذن موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة: 135 m

 

أتحقق من فهمي صفحة (20):

يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، ويعطى تسارعه بالاقتران: a(t) = 4t – 4 ، حيث t الزمن بالثواني، و a تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها 5 m/s ، فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.

$\begin{array}{rl}v\left(t\right)& =\int a\left(t\right) dt\\ & =\int (4t-4) dt\\ & =2t^2-4t+C_1\end{array}$

بما أن الجسيم بدأ حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها 5 m/s ، فإن v(0) = 5 وهذا يعد شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C₁ .

$\begin{array}{rl}& 5=2(0{)}^2-4(0)+C_1\\ & C_1=5\\ & v\left(t\right)=2t^2-4t+5\\ & s\left(t\right)=\int v\left(t\right) dt\\ & =\int (2t^2-4t+5) dt\\ & =\frac{2}{3}{t}^3-2t^2+5t+C_2\end{array}$

بما أن الجسيم بدأ حركته من نقطة الأصل، فإن S(0) = 0 ، وهذا يعد شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C₂ .

$\begin{array}{rl}& s\left(t\right)=\frac{2}{3}{t}^3-2t^2+5t+C_2\\ & 0=\frac{2}{3}(0{)}^3-2(0{)}^2+5\left(0\right)+C_2\\ & C_2=0\\ & s\left(t\right)=\frac{2}{3}{t}^3-2t^2+5t\\ & s\left(3\right)=\frac{2}{3}(3{)}^3-2(3{)}^2+5\left(3\right)\\ & =15\end{array}$

إذن موقع الجسيم بعد 4 ثوانٍ من بدء الحركة: 15 m