مسألة اليوم

مسألة اليوم

التكامل بالتعويض

حقنة يمثل الاقتران $C (t)$ تركيز دواء في الدم بعد $t$ ساعة من حقنه في جسم حيث $C$ مقيسة بالمليغرام لكل سنتيمتر مكعب $(mg / {cm}^{3})$ . إذا كان تركيز الدواء في دم المريض يتغير بمعدل $C^{'} (t) = \frac{0.3 t}{\sqrt{t^{2} + 16}}$ ، فأجد مقدار التغير في تركيز الدواء بالدم خلال الساعات الثلاث الأولى التي تلت حقنه في جسم المريض.

أولاً نجد تكامل الاقتران:

$\begin{aligned} C (t) = \int \frac{0.3 t}{\sqrt{t^{2} + 16}} d t \\ u = t^{2} + 16 \Rightarrow \frac{d u}{d t} = 2 t \\ \Rightarrow d t = \frac{d u}{2 t} \\ C (t) = \int \frac{0.3 t}{\sqrt{t^{2} + 16}} d t \\ = \int \frac{0.3 t}{\sqrt{u}} \times \frac{d u}{2 t} \\ = 0.15 \int u^{- \frac{1}{2}} d u \\ = 2 u^{\frac{1}{2}} + K \\ = 2 \sqrt{u} + K \\ = 2 \sqrt{t^{2} + 16} + K \end{aligned}$

بما أن مقدار تركيز الدواء في الدم في البداية هي 0، إذن $C (0) = 0$ ومنه:

$\begin{aligned} C (t) = 2 \sqrt{t^{2} + 16} + K \\ C (0) = 2 \sqrt{0^{2} + 16} + K \\ 0 = 8 + K \\ K = - 8 \\ C (t) = 2 \sqrt{t^{2} + 16} - 8 \\ C (3) = 2 \sqrt{(3)^{2} + 16} - 8 = 2 \end{aligned}$

مقدار التغير في تركيز الدواء في الجسم خلال الساعات الثلاث الأولى من حقنه هو $2 m g / c m^{2}$