طباعة الدرس

أتحقق من فهمي

المماس والعمودي على المماس

معادلة مماس منحنى الاقتران

أتحقق من فهمي صفحة (93)

أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران: f(x) = x³ – 3x² + 2x - 1 عند النقطة (3, 5).

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x^2-6x+2\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(3\right)=27-18+2=11\end{array}$

معادلة المماس:

$y-f\left(a\right)=f^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)(x-a)$

بتعويض a = 3

$\begin{array}{rl}& y-f\left(3\right)=f^{\mathrm{\prime }}\left(3\right)(x-3)\\ & y-5=11(x-3)\\ & y-5=11x-33\\ & y=11x-28\end{array}$

 

أتحقق من فهمي صفحة (94)

أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران:  عند النقطة x = 1 .

$\begin{array}{rl}& f\left(1\right)=\frac{2-1}{1}=1\to (1,1)\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{\left(x\right)\left(2\right)-(2x-1)\left(1\right)}{x^2}=\frac{1}{x^2}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(1\right)=\frac{1}{1^2}=1\end{array}$

معادلة المماس:

$y-f\left(a\right)=f^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)(x-a)$

بتعويض a = 1

$\begin{array}{rl}& y-f\left(1\right)=f^{\mathrm{\prime }}\left(1\right)(x-1)\\ & y-1=1(x-1)\\ & y-1=x-1\\ & y=x\end{array}$

---

إيجاد نقطة التماس إذا عُلم ميل المماس

أتحقق من فهمي صفحة (96)

(a) أجد إحداثيي النقطة الواقعة على منحنى الاقتران: f(x) = 1 - $\sqrt{\mathit{x}}$  التي يكون عندها ميل المماس $\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=1-\sqrt{x},f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-\frac{1}{4}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ & -\frac{1}{4}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ & 2\sqrt{x}=4\\ & \sqrt{x}=2\\ & x=4\\ & f\left(4\right)=1-\sqrt{4}=-1\end{array}$

نقطة التماس هي: (4, -1).

 

(b) أجد إحداثيي النقطة (النقاط) الواقعة على منحنى الاقتران: f(x) = -x³ + 3x² - 2  التي يكون عندها المماس أفقياً.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=-x^3+3x^2-2 , f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-3x^2+6x\\ & 0=-3x^2+6x\\ & 3x(-x+2)=0\\ & x=0 \text{or }x=2\\ & f\left(0\right)=-2\\ & f\left(2\right)=-8+12-2=2\end{array}$

نقطتا التماس هما: (0, -2) , (2, 2)

---

معادلة العمودي على المماس

أتحقق من فهمي صفحة (97)

أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: f(x) = lnx³  عند النقطة (1, 0) .

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=ln{x}^3,(1,0)\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{3x^2}{x^3}=\frac{3}{x}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(1\right)=\frac{3}{1}=3\end{array}$

ميل المماس هو 3 إذن العمودي على المماس هو $-\frac{1}{3}$

معادلة العمودي على المماس:

$y-f\left(a\right)=-\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)}(x-a)$

بتعويض a = 1

$\begin{array}{rl}& y-f\left(1\right)=-\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}\left(1\right)}(x-1)\\ & y-0=-\frac{1}{3}(x-1)\\ & y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\end{array}$