أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

المشتقة الثانية والسرعة المتجهة والتسارع

أجد المشتقة الثانية لكل اقتران مما يأتي:

(1) $f (x) = 3 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = 9 x^{2} - 8 x + 5 \\ f^{''} (x) = 18 x - 8 \end{aligned}$

(2) $f (x) = 2 e^{x} + x^{2}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = 2 e^{x} + 2 x \\ f^{''} (x) = 2 e^{x} + 2 \end{aligned}$

(3) $f (x) = 2 \cos x - x^{3}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = - 2 s i n x - 3 x^{2} \\ f^{''} (x) = - 2 c o s x - 6 x \end{aligned}$

(4) $f (x) = 4 \ln x - 3 x^{3}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = 4 (\frac{1}{x}) - 9 x^{2} = \frac{4}{x} - 9 x^{2} \\ f^{''} (x) = - \frac{4}{x^{2}} - 18 x \end{aligned}$

(5) $f (x) = x^{3} (x + 6)^{6}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (x^{3}) (6) (x + 6)^{5} (1) + (x + 6)^{6} (3 x^{2}) \\ = (x + 6)^{5} (9 x^{3} + 18 x^{2}) \\ f^{''} (x) & = (5) (x + 6)^{4} (1) (9 x^{3} + 18 x^{2}) + (x + 6)^{5} (27 x^{2} + 36 x) \\ = (x + 6)^{4} (72 x^{3} + 288 x^{2} + 216 x) \end{aligned}$

(6) $f (x) = x^{7} \ln x$

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = (x^{7}) (\frac{1}{x}) + (l n x) (7 x^{6}) \\ = x^{6} + (l n x) (7 x^{6}) \\ f^{''} (x) & = 6 x^{5} + (l n x) (42 x^{5}) + (7 x^{6}) (\frac{1}{x}) \\ = 13 x^{5} + (l n x) (42 x^{5}) \end{aligned}$

(7) $f (x) = \frac{x}{x + 2}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = \frac{(x + 2) (1) - (x) (1)}{(x + 2)^{2}} = \frac{2}{(x + 2)^{2}} \\ f^{''} (x) = \frac{- 2 \times 2 (x + 2) (1)}{(x + 2)^{4}} = \frac{- 4 (x + 2)}{(x + 2)^{4}} = \frac{- 4}{(x + 2)^{3}} \end{aligned}$

(8) $f (x) = \sin x^{2}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = 2 x c o s x^{2} \\ f^{''} (x) = (2 x) (- 2 x s i n x^{2}) + (c o s x^{2}) (2) = - 4 x^{2} s i n x^{2} + 2 c o s x^{2} \end{aligned}$

(9) $f (x) = 2 x^{- 3}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = - 6 x^{- 4} \\ f^{''} (x) = 24 x^{- 5} \end{aligned}$

(10) $f (x) = x^{3} - \frac{5}{x}$

$\begin{aligned} f (x) = x^{3} - \frac{5}{x} = x^{3} - 5 x^{- 1} \\ f^{'} (x) = 3 x^{2} + 5 x^{- 2} \\ f^{''} (x) = 6 x - 10 x^{- 3} \end{aligned}$

(11) $f (x) = \sqrt{x}$

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \\ f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \\ f^{''} (x) = - \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{2}} = - \frac{1}{4 \sqrt{x^{3}}} \end{aligned}$

(12) $f (x) = 2 - 4 x + x^{2} - x^{3}$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = - 4 + 2 x - 3 x^{2} \\ f^{''} (x) = 2 - 6 x \end{aligned}$

أجد المشتقة الثانية لكل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(13) $f (x) = 8 x^{3} - 3 x + \frac{4}{x}, x = - 2$

$\begin{aligned} f (x) = 8 x^{3} - 3 x + \frac{4}{x} = 8 x^{3} - 3 x + 4 x^{- 1} \\ f^{'} (x) = 24 x^{2} - 3 - 4 x^{- 2} \\ f^{''} (x) = 48 x + 8 x^{- 3} \\ f^{''} (- 2) = 48 (- 2) + 8 (- 2)^{- 3} = - 96 - 1 = - 97 \end{aligned}$

(14) $f (x) = \frac{1}{2 x - 4}, x = 3$

$\begin{aligned} f^{'} (x) = \frac{- 2}{(2 x - 4)^{2}} \\ f^{''} (x) = \frac{2 \times 2 \times (2 x - 4)^{1} \times 2}{(2 x - 4)^{4}} = \frac{8}{(2 x - 4)^{3}} \\ f^{''} (3) = \frac{8}{(2 (3) - 4)^{3}} = \frac{8}{8} = 1 \end{aligned}$

(15) إذا كان: $f (x) = p x^{3} - 3 p x^{2} + x - 4$ ، وكانت: $f^{''} (2) = - 1$ ، فأجد قيمة الثابت p .

$\begin{aligned} f^{'} (x) = 3 p x^{2} - 6 p x + 1 \\ f^{''} (x) = 6 p x - 6 p \\ f^{''} (2) = 6 p (2) - 6 p \\ - 1 = 12 p - 6 p \\ 6 p = - 1 \\ p = - \frac{1}{6} \end{aligned}$

يمثل الاقتران: $s (t) = t^{5} - 20 t^{2}, t \geq 0$ موقع جسم يتحرك على خط مستقيم حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(16) ما سرعة الجسم المتجهة عندما t = 3 ؟

$\begin{aligned} v (t) = 5 t^{4} - 40 t \\ v (3) = 5 (3)^{4} - 40 (3) = 405 - 120 = 285 m / s \end{aligned}$

(17) في أي اتجاه يتحرك الجسم عندما t = 3 ؟

بما أن إشارة السرعة المتجهة موجبة، فإن الجسم يتحرك في الاتجاه الموجب (إلى اليمين) عندما t = 3 .

(18) ما تسارع الجسم عندما t = 3 ؟

$\begin{aligned} a (t) = 20 t^{3} - 40 \\ a (3) = 20 (3)^{3} - 40 = 540 - 40 = 500 m / s^{2} \end{aligned}$

(19) أجد قيم t التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما تكون سرعته المتجهة 0

$\begin{aligned} 5 t^{4} - 40 t = 0 \\ 5 t (t^{3} - 8) = 0 \\ t = 0 or t = 2 \end{aligned}$

يمثل الاقتران: $s (t) = \frac{3 t}{1 + t}, t \geq 0$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(20) ما سرعة الجسم المتجهة عندما t = 4 ؟

$\begin{aligned} s (t) = \frac{3 t}{1 + t} \\ v (t) = \frac{(1 + t) (3) - (3 t) (1)}{(1 + t)^{2}} = \frac{3}{(1 + t)^{2}} \\ v (4) = \frac{3}{(1 + 4)^{2}} = \frac{3}{25} = 0 .12 m / s \end{aligned}$

(21) في أي اتجاه يتحرك الجسم عندما t = 4 ؟

بما أن إشارة السرعة المتجهة موجبة، فإن الجسم يتحرك في الاتجاه الموجب (إلى اليمين) عندما t = 4 .

(22) ما تسارع الجسم عندما t = 4 ؟

$\begin{aligned} a (t) = \frac{- 3 \times 2 (1 + t) (1)}{(1 + t)^{4}} = \frac{- 6}{(1 + t)^{3}} \\ a (4) = \frac{- 6}{(1 + 4)^{3}} = \frac{- 6}{125} = - 0 .048 m / s^{2} \end{aligned}$

$لوح تزلج$ لوح تزلج: يتحرك رامي في مسار مستقيم على لوح تزلج بحيث يمكن نمذجة موقعه باستعمال الاقتران: s(t) = t² – 8t + 12 ، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(23) ما سرعة رامي المتجهة بعد 6 ثوانٍ من بدء حركته؟

$\begin{aligned} v (t) = 2 t - 8 \\ v (6) = 2 (6) - 8 = 4 m / s \end{aligned}$

(24) ما تسارع رامي بعد 6 ثوانٍ من بدء حركته؟

$\begin{aligned} a (t) = 2 \\ a (6) = 2 m / s^{2} \end{aligned}$

(25) أجد قيم t التي يكون عندها رامي في حالة سكون لحظي.

يكون رامي في حالة سكون لحظي عندما تكون سرعته المتجهة 0

$2 t - 8 = 0 \to t = 4$