إجابات كتاب التمارين

إجابات كتاب التمارين

التوزيع الهندسي

إذا كان $X ~ G e o (\frac{1}{8})$ ، فأجد كلاً مما يأتي، مقرباً إجابتي إلى أقرب 3 منازل عشرية:

$P (X = 4)$ (1)

$\begin{aligned} P (X = 4) & = \frac{1}{8} {(\frac{7}{8})}^{3} \\ = \frac{343}{4096} \approx 0.084 \end{aligned}$

$P (X \leq 4)$ (2)

$\begin{aligned} P (X \leq 4) = P (X & = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) \\ = \frac{1}{8} {(\frac{7}{8})}^{3} + \frac{1}{8} {(\frac{7}{8})}^{2} + \frac{1}{8} {(\frac{7}{8})}^{1} + \frac{1}{8} {(\frac{7}{8})}^{0} \approx 0.414 \end{aligned}$

$P (X \geq 2)$ (3)

$\begin{aligned} P (X \geq 2) & = 1 - P (X < 1) \\ = 1 - P (X = 1) \\ = 1 - \frac{1}{8} {(\frac{7}{8})}^{0} \\ = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \end{aligned}$

$P (3 \leq X < 5)$ (4)

$\begin{aligned} P (3 \leq X < 5) & = P (X = 3) + P (X = 4) \\ = \frac{1}{8} {(\frac{7}{8})}^{2} + \frac{1}{8} {(\frac{7}{8})}^{3} \approx 0.179 \end{aligned}$

$P (X < 2)$ (5)

$P (X < 2) = P (X = 1) = \frac{1}{8} = 0.125$

$P (X > 5)$ (6)

$P (X > 5) = 1 - P (X \leq 4) \approx 1 - 0.414 = 0.586$

$P (1 < X < 3)$ (7)

$\begin{aligned} P (1 < X < 3) & = P (X = 2) \\ = \frac{1}{8} {(\frac{7}{8})}^{1} = \frac{7}{64} \approx 0.109 \end{aligned}$

$P (4 < X \leq 6)$ (8)

$\begin{aligned} P (4 < X \leq 6) & = P (X = 5) + P (X = 6) \\ = \frac{1}{8} {(\frac{7}{8})}^{4} + \frac{1}{8} {(\frac{7}{8})}^{5} \approx 0.137 \end{aligned}$

$P (2 < X \leq 4)$ (9)

$\begin{aligned} P (2 < X \leq 4) & = P (X = 3) + P (X = 4) \\ = \frac{1}{8} {(\frac{7}{8})}^{2} + \frac{1}{8} {(\frac{7}{8})}^{3} \approx 0.179 \end{aligned}$

أجد التوقع لكل من المتغيرات العشوائية الآتية:

$X ~ GeO (0.8)$ (10)

$E (X) = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.8} = \frac{10}{8} = 1.25$

$11 X ~ Geo (0.1)$ (11)

$E (X) = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.1} = 10$

$X ~ Geo (0.75)$ (12)

$E (X) = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.75} = \frac{100}{75} = \frac{4}{3} \approx 1.33$

أطلق عماد رصاصة نحو هدف بصورة متكررة، ثم توقف عنـد إصابته الهدف أول مرة. إذا كان احتمال إصابته الهدف في كل مرة هو 0.7، فأجد كلاً مما يأتي:

(13) احتمال أن يصيب الهدف أول مرة في المحاولة العاشرة.

$P (X = 10) = (0.7) (0.3)^{3} \approx 0.00001$

(14) احتمال أن يطلق رصاصتين على الأقل حتى يصيب الهدف أول مرة.

$\begin{aligned} P (X \geq 2) & = 1 - P (X < 1) \\ = 1 - P (X = 1) \\ = 1 - 0.7 (0.3)^{0} = 1 - 0.7 = 0.3 \end{aligned}$

(15) العدد المتوقع من الرصاصات التي سيطلقها عماد حتى يصيب الهدف أول مرة.

$E (X) = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.7} = \frac{10}{7} \approx 1.4$

دورت هديل مؤشر قرص بشكل متكرر، وكان القرص مقسّماً إلى 4 قطاعات متطابقة وملونة بالأحمر، والأخضر، والأزرق، والأصفر. إذا دلّ المتغير العشوائي $X$ على عدد مرات تدوير مؤشر القرص حتى توقفه عند اللون الأصفر أول مرة، فأجد كلاً مما يأتي:

(16) احتمال أن تكون المرة الثالثة هي أول مرة يتوقف فيها مؤشر القرص عند اللون الأصفر.

$P (X = 3) = (\frac{1}{4}) {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{64} \approx 0.14$

(17) احتمال أن تدور هديل مؤشر القرص أكثر من 4 مرات حتى يتوقف المؤشر عند اللون الأصفر أول مرة.

$\begin{aligned} P (X > 4) = 1 - P (X \leq 4) \\ = 1 - (P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4)) \\ = 1 - (\frac{1}{4} {(\frac{3}{4})}^{0} + \frac{1}{4} {(\frac{3}{4})}^{1} + \frac{1}{4} {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{1}{4} {(\frac{3}{4})}^{3}) \approx 0.32 \end{aligned}$

إذا كان $X$ متغيراً عشوائياً هندسياً، وكان التوقع $E (X) = 2$ ، فأجد كلاً مما يأتي:

$P (X = 1)$ (18)

$\begin{aligned} E (X) = 2 \Rightarrow \frac{1}{p} = 2 \\ \Rightarrow p = \frac{1}{2} \\ P (X = 1) = \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{0} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

$P (X > 3)$ (19)

$\begin{aligned} P (X > 3) = 1 - P (X \leq 3) \\ = 1 - (P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)) \\ = 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{0} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{1} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) \\ = 1 - (0.5 + 0.25 + 0.125) \\ = 1 - 0.875 = 0.125 \end{aligned}$