مهارات التفكير العليا

مهارات التفكير العليا

الاشتقاق الضمني

تبرير: إذا كان: x² – y² = 1 ، فأجيب عن الأسئلة الأربعة الآتية تباعاً:

(43) أجد $\frac{d y}{d x}$ .

$\begin{aligned} x^{2} - y^{2} = 1 & \to 2 x - 2 y \frac{d y}{d x} = 0 \\ \to \frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \end{aligned}$

(44) يمكن التعبير عن منحنى العلاقة: x² – y² = 1 بالمعادلة الوسيطية: x = sec t , y = tan t ، حيث: $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$

أستعمل هذه الحقيقة لإيجاد $\frac{d y}{d x}$ بدلالة t .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{s e c^{2} t}{s e c t t a n t} = \frac{s e c t}{t a n t}$

(45) أثبت أن المقدارين الجبريين اللذين يمثلان $\frac{d y}{d x}$ الناتجين في الفرعين السابقين متكافئان، مبرراً إجابتي.

$\frac{d y}{d x} = \frac{s e c t}{t a n t} = \frac{x}{y}$

المقداران الجبريان اللذان يمثلان متكافئان، لأنه من نص السؤال:

x = sec t و y = tan t ومنه فإن $\frac{s e c t}{t a n t} = \frac{x}{y}$

(46) أجد إحداثيات النقاط التي يكون عندها ميل المماس 2 .

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 2 \to \frac{x}{y} & = 2 \to x = 2 y \\ x^{2} - y^{2} = 1 & \to (2 y)^{2} - y^{2} = 1 \\ \to y^{2} = \frac{1}{3} \\ \to y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \to y = \frac{1}{\sqrt{3}} \to x = \frac{2}{\sqrt{3}}, y = - \frac{1}{\sqrt{3}} \to x = - \frac{2}{\sqrt{3}} \end{aligned}$

النقاط التي يكون عندها ميل المماس 2 هي: $(- \frac{2}{\sqrt{3}}, - \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

(47) تبرير: إذا مثل l أيّ مماس لمنحنى المعادلة: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{k}$ ، حيث k عدد حقيقي موجب، فأثبت أنّ مجموع المقطع x والمقطع y للمستقيم l يساوي k ، مبرراً إجابتي.

$\begin{aligned} \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{k} \\ \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{\frac{d y}{d x}}{2 \sqrt{y}} = 0 \to \frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \end{aligned}$

نفرض نقطة التماس هي: (x₁ , y₁) فيكون ميل المماس:

${\frac{d y}{d x} |}_{(x_{1}, y_{1})} = - \frac{\sqrt{y_{1}}}{\sqrt{x_{1}}}$

معادلة المماس:

$y - y_{1} = - \frac{\sqrt{y_{1}}}{\sqrt{x_{1}}} (x - x_{1})$

المقطع x والمقطع y للمماس:

$\begin{aligned} x = 0 \to y - y_{1} = - \frac{\sqrt{y_{1}}}{\sqrt{x_{1}}} (- x_{1}) \to y = y_{1} + \sqrt{y_{1}} \sqrt{x_{1}} \\ y = 0 \to y_{1} = \frac{\sqrt{y_{1}}}{\sqrt{x_{1}}} (x - x_{1}) \to x = x_{1} + \sqrt{y_{1}} \sqrt{x_{1}} \end{aligned}$

مجموع المقطعين:

$\begin{aligned} y_{1} + \sqrt{y_{1}} \sqrt{x_{1}} + x_{1} + \sqrt{y_{1}} \sqrt{x_{1}} & = y_{1} + 2 \sqrt{y_{1}} \sqrt{x_{1}} + x_{1} \\ = {(\sqrt{y_{1}} + \sqrt{x_{1}})}^{2} \\ = (\sqrt{k})^{2} = k \end{aligned}$

(48) تحدّ: إذا كان مماس منحنى الاقتران: $y = x^{\sqrt{x}}$ عند النقطة (4, 16) يقطع المحور x في النقطة B ، والمحور y في النقطة C ، فأجد مساحة $△ O B C$ ، حيث O نقطة الأصل.

$\begin{aligned} y = x^{\sqrt{x}} \\ l n y = l n x^{\sqrt{x}} \\ l n y = \sqrt{x} l n x \\ \frac{\frac{d y}{d x}}{y} = (\sqrt{x}) (\frac{1}{x}) + (l n x) (\frac{1}{2 \sqrt{x}}) \to \frac{d y}{d x} = y (\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{l n x}{2 \sqrt{x}}) \\ \to \frac{d y}{d x} = x^{\sqrt{x}} (\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{l n x}{2 \sqrt{x}}) \\ = \frac{2 + l n x}{2 \sqrt{x}} (x^{\sqrt{x}}) \end{aligned}$

ميل المماس:

${\frac{d y}{d x} |}_{(4, 16)} = \frac{2 + l n 4}{2 \sqrt{4}} (16) = 8 + 4 l n 4$

معادلة المماس:

$y - 16 = (8 + 4 l n 4) (x - 4)$

المقطع x والمقطع y للمماس:

$\begin{aligned} x = 0 \to y - 16 = (8 + 4 l n 4) (- 4) \to y = - 16 - 16 l n 4 \\ y = 0 \to - 16 = (8 + 4 l n 4) (x - 4) \to x = \frac{4 + 4 l n 4}{2 + l n 4} \end{aligned}$

مساحة المثلث OBC بوحدة المساحة هي:

$A = \frac{1}{2} \times \frac{4 + 4 l n 4}{2 + l n 4} \times | - 16 - 16 l n 4 | = \frac{32 (1 + l n 4)^{2}}{2 + l n 4}$