مسألة اليوم

مسألة اليوم

المعادلات التفاضلية

تتغير درجة حرارة سائل كيميائي بارد، بعد وضعه في غرفة دافئة، بمعدل يمكن نمذجته بالمعادلة التفاضلية: $\frac{d A}{d t} = 2 (20 - A)$ ، حيث $A$ درجة حرارة السائل بمقياس سيلسيوس، و $t$ الزمن بالساعات:

(1) أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد درجة حرارة السائل بعد $t$ ساعة، علماً بأن درجة حرارته عند وضعه في الغرفة هي $5^{\circ} C$ .

$\begin{aligned} \frac{d A}{d t} = 2 (20 - A) \\ \int \frac{d A}{20 - A} = \int 2 d t \\ - \ln | 20 - A | = 2 t + K \\ - \ln 15 = 0 + K \Rightarrow K = - \ln 15 \\ \Rightarrow - \ln | 20 - A | = 2 t - \ln 15 \\ \Rightarrow \ln | \frac{15}{20 - A} | = 2 t \end{aligned}$

إذن، يمكن نمذدجة درجة الحرارة C بعد t ساعة بالعلاقة:

$\ln | \frac{15}{20 - A} | = 2 t$

(2) بعد كم ساعة تصبح درجة حرارة السائل $18^{\circ} C$ ؟

نعوض $A = 18$ في العلاقة $\ln | \frac{15}{20 - A} | = 2 t$ فينتج:

$\ln | \frac{15}{20 - 18} | = 2 t \Rightarrow t = \frac{1}{2} \ln \frac{15}{2} = \frac{\ln 15 - \ln 2}{2} \approx 1$

إذن، تصبح درجة حرارة السائل $18^{\circ} C$ بعد مرور ساعة واحدة تقريباً بعد وضعه في الغرفة.