اختبار نهاية الوحدة

اختبار نهاية الوحدة

المتجهات

أختار رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي:

(1) إذا كانت $A (- 3, 4, 9), B (5, - 2, 3)$ ، فإن الصورة الإحداثية للمتجه $\vec{A B}$ هي:

$⟨ - 2, 2, 12 ⟩$ (a

$⟨ 8, - 6, - 6 ⟩$ (b

$⟨ - 1, 1, 6 ⟩$ (c

$⟨ - 8, 6, - 6 ⟩$ (d

(2) إذا كان: $\vec{v} = ⟨ 2, c, - 5 ⟩$ ، وكان: $| \vec{v} | = 3 \sqrt{5}$ ، فإن c تساوي:

4 (a

3,5- (b

15 (c

4,4- (d

(3) إذا كان PQR مستقيماً، حيث: $P Q : Q R = 3 : 1, \vec{P Q} = \vec{a}$ ، فإن التعبير عن المتجه $\vec{R Q}$ بدلالة $\vec{a}$ هو:

$\frac{1}{3} \vec{a}$ (a

$\frac{1}{4} \vec{a}$ (b

$- \frac{1}{3} \vec{a}$ (c

$- \frac{1}{4} \vec{a}$ (d

(4) النقطة الواقعة على المستقيم الذي له المعادلة المتجهة: $\vec{r} = ⟨ 4, - 2, 5 ⟩ + t ⟨ - 2, 1, 3 ⟩$ ، والإحداثـي y لها 10 هي:

$(18, 10, 28)$ (a

$(28, 10, 35)$ (b

$(- 8, 10, 20)$ (c

$(- 20, 10, 41)$ (d

(5) إذا كان: $\vec{v} = ⟨ 2, - 2, 5 ⟩$ ، وكان: $\vec{w} = ⟨ - 3, 4, 6 ⟩$ ، فإن $3 \vec{v} - 2 \vec{w}$ يساوي:

$⟨ 0, 2, 3 ⟩$ (a

$⟨ 12, - 14, 3 ⟩$ (b

$⟨ 13, - 16, - 8 ⟩$ (c

$⟨ - 13, 16, 8 ⟩$ (d

(6) إذا كان قياس الزاوية بيـن $\vec{b}, \vec{a}$ هو $60^{\circ}$ ، وكان: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 30$ ، وكان: $| \vec{a} | = 10$ ، فإن مقدار $\vec{b}$ هو:

3 (a

5 (b

6 (c

24 (d

(7) إذا كان: $\vec{u} = ⟨ - 4, 2, a ⟩$ ، وكان: $\vec{v} = ⟨ 2, b, 5 ⟩$ ، وكان: $\vec{u} ∥ \vec{v}$ فإن قيمة a هي:

10- (a

5- (b

1- (c

5 (d

(8) إذا كان المتجه $\vec{u} = (\begin{matrix} 5 \\ - 6 \\ 3 \end{matrix})$ ، والمتجه: $\vec{v} = (\begin{matrix} 6 \\ 14 \\ q \end{matrix})$ متعامدين، فإن قيمة q هي:

0 (a

8 (b

10 (c

18 (d

(9) في المثلث المجاور، إذا كان: $\vec{A B} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ ، وكان: $\vec{B C} = - 2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$ ، فأجد قياس الزاوية ABC إلى أقرب عشر درجة.

$\begin{aligned} \vec{B A} = ⟨ - 3, 1, - 2 ⟩ \Rightarrow | \vec{B A} | = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \\ \vec{B C} = ⟨ - 2, 4, 3 ⟩ \Rightarrow | \vec{B C} | = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29} \\ \vec{B A} \cdot \vec{B C} = - 3 (- 2) + 1 (4) - 2 (3) = 4 \\ θ = \cos^{- 1} (\frac{\vec{B A} \cdot \vec{B C}}{| \vec{B A} | | \vec{B C} |}) = \cos^{- 1} (\frac{4}{\sqrt{14} \times \sqrt{29}}) \approx {78.5}^{\circ} \end{aligned}$

(10) إذا وقعت النقاط: $E (2, 0, 4), F (h, 5, 1), G (3, 10, k)$ على مستقيم واحد، فما قيمة كل من h وk؟

E,F,G تقع على استقامة واحدة، إذن $\vec{E F} ∥ \vec{F G}$ ، ومنه:

$⟨ h - 2, 5, - 3 ⟩ ∥ ⟨ 3 - h, 5, k - 1 ⟩$

إذن، يوجد عدد حقيقي مثل c بحيث:

$\begin{aligned} ⟨ h - 2, 5, - 3 ⟩ = c ⟨ 3 - h, 5, k - 1 ⟩ \\ \Rightarrow 5 c = 5 \Rightarrow c = 1 \\ h - 2 = (3 - h) c \Rightarrow h - 2 = 3 - h \Rightarrow h = \frac{5}{2} \\ (k - 1) c = - 3 \Rightarrow k - 1 = - 3 \Rightarrow k = - 2 \end{aligned}$

(11) إذا كانت $A (3, - 2, 4), B (1, - 5, 6), C (- 4, 5, - 1)$ ، وكانت النقطة D تقع على المستقيم المار بالنقطة A والنقطة B، وكانت الزاوية CDA قائمة، فأجد إحداثيات النقطة D.

$\begin{aligned} \vec{A B} = ⟨ - 2, - 3, 2 ⟩ \\ \vec{r} = ⟨ 3, - 2, 4 ⟩ + t ⟨ - 2, - 3, 2 ⟩ \\ \Rightarrow \vec{O D} = ⟨ 3 - 2 t, - 2 - 3 t, 4 + 2 t ⟩ \end{aligned} \begin{aligned} \vec{C D} = ⟨ 3 & - 2 t, - 2 - 3 t, 4 + 2 t ⟩ - ⟨ - 4, 5, - 1 ⟩ = ⟨ 7 - 2 t, - 7 - 3 t, 5 + 2 t ⟩ \\ \vec{C D} ⊥ \vec{A B} & \Rightarrow \vec{C D} \cdot \vec{A B} = 0 \\ \Rightarrow - 2 (7 - 2 t) - 3 (- 7 - 3 t) + 2 (5 + 2 t) = 0 \\ \Rightarrow t = - 1 \\ \Rightarrow \vec{O D} = & ⟨ 3 + 2, - 2 + 3, 4 - 2 ⟩ = ⟨ 5, 1, 2 ⟩ \Rightarrow D (5, 1, 2) \end{aligned}$

إذا كانت: $\vec{r} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 5 \\ 9 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} - 5 \\ 0 \\ 7 \end{matrix})$ معادلة متجهة للمستقيم $l_{1}$ ، وكانت: $\vec{r} = (\begin{matrix} - 3 \\ - 17 \\ 5 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix})$ معادلة متجهة للمستقيم $l_{2}$ ، فأجيب عن السؤالين الأتبين تباعاً:

(12) أجد إحداثيات نقطة تقاطع المستقيمين: $l_{1}, l_{2}$ .

لإيجاد نقطة التقاطع نساوي $\vec{r}$ في المعادلتين ونساوي إحداثياتهما المتناظرة لنجد قيمة الوسيطين $λ, μ$ :

$\begin{aligned} ⟨ - 2 - 5 λ, - 5, 9 + 7 λ ⟩ = ⟨ - 3 + 2 μ, - 17 + 4 μ, 5 - μ ⟩ \\ - 17 + 4 μ = - 5 \Rightarrow μ = 3 \\ - 2 - 5 λ = - 3 + 2 μ \Rightarrow λ = - 1 \end{aligned}$

وهاتان القيمتان تحققان المعادلة الثالثة الآتية:

$\begin{aligned} 9 + 7 λ & = 5 - μ \\ 9 + 7 (- 1) & = 5 - 3 \\ 2 & = 2 \end{aligned}$

نجد نقطة تقاطعهما بتعويض $λ = - 1$ في معادلة $l_{1}$ ، وهي النقطة $(3, - 5, 2)$

(13) أجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين: $l_{1}, l_{2}$ .

اتجاه المستقيم $l_{1}$ : $\vec{v} = ⟨ - 5, 0, 7 ⟩$

اتجاه المستقيم $l_{2}$ : $\vec{u} = ⟨ 2, 4, - 1 ⟩$

$\begin{aligned} \vec{v} \cdot \vec{u} = - 5 (2) + 0 + 7 (- 1) = - 17 \\ | \vec{v} | = \sqrt{25 + 0 + 49} = \sqrt{74} \\ | \vec{u} | = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21} \end{aligned}$

لتكن $θ$ قياس الزاوية بين $\vec{v}, \vec{u}$ إذن:

$θ = c o s^{- 1} (\frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{| \vec{v} | | \vec{u} |}) = c o s^{- 1} (\frac{- 17}{\sqrt{74} \times \sqrt{21}}) \approx 115 . 5^{\circ}$

فيكون قياس الزاوية الحادة بين $l_{1}, l_{2}$ هو $α$ حيث: $α = 180^{\circ} - {115.5}^{\circ} = {64.5}^{\circ}$

إذا كانت $A (1, 4, - 5), B (3, 0, 2), C (- 4, 1, 3)$ ، فأجيب عن الأسئلة الأربعة الآتية تباعاً:

(14) أكتب معادلة متجهة للمستقيم $\overset{\leftrightarrow}{A B}$ .

$\begin{aligned} \vec{A B} = ⟨ 2, - 4, 7 ⟩ \\ \vec{r} = ⟨ 1, 4, - 5 ⟩ + t ⟨ 2, - 4, 7 ⟩ \end{aligned}$

(15) أكتب معادلة متجهة للمستقيم $\overset{\leftrightarrow}{A C}$ .

$\begin{aligned} \vec{A C} = ⟨ - 5, - 3, 8 ⟩ \\ \vec{r} = ⟨ 1, 4, - 5 ⟩ + u ⟨ - 5, - 3, 8 ⟩ \end{aligned}$

(16) إذا كان قياس $∠ B A C = θ$ ، فأثبت أن: $\cos θ = \frac{58}{7 \sqrt{138}}$ .

$\begin{aligned} | \vec{A B} | = \sqrt{4 + 16 + 49} = \sqrt{69} \\ | \vec{A C} | = \sqrt{25 + 9 + 64} = \sqrt{98} \\ \vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 (- 5) - 4 (- 3) + 7 (8) = 58 \\ \cos θ = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{| \vec{A B} | | \vec{A C} |} = \frac{58}{\sqrt{69} \times \sqrt{98}} = \frac{58}{\sqrt{69 \times 49 \times 2}} = \frac{58}{7 \sqrt{138}} \end{aligned}$

(17) أجد مساحة المثلث ABC.

$\begin{aligned} \sin θ = \sqrt{1 - \cos^{2} θ} = \sqrt{1 - \frac{3364}{6762}} = \frac{\sqrt{3398}}{7 \sqrt{138}} \\ Area (A B C) = \frac{1}{2} | \vec{A B} | \times | \vec{A C} | \sin θ = \frac{1}{2} \times 7 \sqrt{138} \times \frac{\sqrt{3398}}{7 \sqrt{138}} = \frac{\sqrt{3398}}{2} \end{aligned}$

(18) إذا كانت: $\vec{r} = ⟨ 3, - 25, 13 ⟩ + t ⟨ 4, 5, - 1 ⟩$ معادلة متجهة للمستقيم l، وكانت النقطة V تقع على المستقيم l، حيث: $l ⊥ \bar{O V}$ فما إحداثيات النقطة V؟

V نقطة على l إذن يكون متجه موقعها: $\vec{O V} = ⟨ 3 + 4 t, - 25 + 5 t, 13 - t ⟩$

اتجاه l هو: $\vec{w} = ⟨ 4, 5, - 1 ⟩$

وبما أن $l ⊥ \bar{O V}$ إذن يكون: $\vec{w} \cdot \vec{O V} = 0$ ومنه:

$\begin{aligned} 4 (3 + 4 t) + 5 (- 25 + 5 t) - 1 (13 - t) = 0 \Rightarrow t = 3 \\ \Rightarrow \vec{O V} = ⟨ 3 + 12, - 25 + 15, 13 - 3 ⟩ \Rightarrow V (15, - 10, 10) \end{aligned}$

يمر المستقيم $l_{1}$ بالنقطتين: E وF، ويمر المستقيم $l_{2}$ بالنقطتين: G وH. أحدد إذا كان هذان المستقيمان متوازيين أو متخالفين أو متقاطعين، ثم أجد إحداثيات نقطة التقاطع إذا كانا متقاطعين في كل مما يأتي:

$E (7, 6, 34), F (5, 9, 16), G (1, 21, - 2), H (- 13, - 14, 19) \begin{array}{l} \end{array} \begin{array}{l} \end{array}$ (19)

$\begin{aligned} \vec{E F} = ⟨ - 2, 3, - 18 ⟩ \\ \vec{G H} = ⟨ - 14, - 35, 21 ⟩ \end{aligned}$

نلاحظ أنه لا يوجد عدد حقيقي k يحقق $\vec{E F} = k \vec{G H}$ كون النسب بين الإحداثيات المتناظرة غير متساوية، فالمستقيمان غير متوازيين:

معادلة $l_{1}$ هي: $\vec{r} = ⟨ 7, 6, 34 ⟩ + t ⟨ - 2, 3, - 18 ⟩$

معادلة $l_{2}$ هي: $\vec{r} = ⟨ 1, 21, - 2 ⟩ + u ⟨ - 14, - 35, 21 ⟩$

نساوي $\vec{r}$ في المعادلتين ونساوي إحداثياتهما المتناظرة لنجد قيم t,u لمعرفة نقطة التقاطع:

$\begin{aligned} ⟨ 7 - 2 t, 6 + 3 t, 34 - 18 t ⟩ = ⟨ 1 - 14 u, 21 - 35 u, - 2 + 21 u ⟩ \\ 7 - 2 t = 1 - 14 u \Rightarrow - 2 t + 14 u = - 6 \dots \dots \dots \dots \dots . (1) \\ 6 + 3 t = 21 - 35 u \Rightarrow 3 t + 35 u = 15 \dots \dots \dots \dots \dots . (2) \\ 34 - 18 t = - 2 + 21 u \Rightarrow 18 t + 21 u = 36 \dots \dots \dots \dots (3) \\ (1) \times 9 + (3) : u = - \frac{6}{49}, t = \frac{15}{7} \\ 3 (\frac{15}{7}) + 35 (- \frac{6}{49}) = 2.14 \neq 15 \end{aligned}$

هذه القيم لا تحقق المعادلة (2)، إذن المستقيمان ليسا متقاطعين ولا متوازيين، فهما متخالفان.

$E (- 3, - 5, 16), F (12, 0, 1), G (7, 2, 11), H (1, - 22, 23)$ (20)

$\begin{aligned} \vec{E F} = ⟨ 15, 5, - 15 ⟩ \\ \vec{G H} = ⟨ - 6, - 24, 12 ⟩ \end{aligned}$

بما أن النسب بين الإحداثيات المتناظرة غير ثابتة، فإنه لا يوجد عدد حقيقي k حيث $\vec{E F} = k \vec{G H}$ وهذا يعني أن المستقيمين غير متوازيين.

بتبسيط اتجاه $\vec{E F}$ بقسمته على 5 تكون معادلته: $\vec{r} = ⟨ - 3, - 5, 16 ⟩ + t ⟨ 3, 1, - 3 ⟩$

بتبسيط اتجاه $\vec{G H}$ بقسمته على 6 تكون معادلته: $\vec{r} = ⟨ 7, 2, 11 ⟩ + u ⟨ - 1, - 4, 2 ⟩$

نساوي $\vec{r}$ في المعادلتين ونساوي إحداثياتهما المتناظرة لنجد قيم t,u لمعرفة نقطة التقاطع:

$\begin{aligned} ⟨ - 3 + 3 t, - 5 + t, 16 - 3 t ⟩ = ⟨ 7 - u, 2 - 4 u, 11 + 2 u ⟩ \\ - 3 + 3 t = 7 - u \Rightarrow 3 t + u = 10 \dots \dots \dots \dots \dots (1) \\ - 5 + t = 2 - 4 u \Rightarrow t + 4 u = 7 \dots \dots \dots \dots \dots . (2) \\ 16 - 3 t = 11 + 2 u \Rightarrow 3 t + 2 u = 5 \dots \dots \dots \dots . (3) \\ (3) - (1) : u = - 5 \Rightarrow t = 5 \end{aligned}$

لكن هذه القيم لا تحقق المعادلة (2)، إذن المستقيمان ليسا متقاطعين ولا متوازيين، فهما متخالفان.

(21) في الشكل الرباعي ABCD الآتي، مد AD على استقامته ليصل إلى النقطة E، حيث: AD=2 DE، إذا كان: $\vec{D A} = 14 \vec{b}$ ، وكان: ، $\vec{D C} = 5 \vec{a}$ وكان: $\vec{A B} = 15 \vec{a}$ ، فأثبت أن $B, C, E$ تقع على استقامة واحدة.

$\begin{aligned} A D = 2 D E \Rightarrow \vec{A D} = 2 \vec{D E} \\ \Rightarrow \vec{D E} = \frac{1}{2} \vec{A D} = \frac{1}{2} (- 14 \vec{b}) = - 7 \vec{b} \\ \vec{E C} = \vec{E D} + \vec{D C} = - \vec{D E} + \vec{D C} = 7 \vec{b} + 5 \vec{a} \\ \vec{E B} = \vec{E A} + \vec{A B} = 21 \vec{b} + 15 \vec{a} = 3 (7 \vec{b} + 5 \vec{a}) \\ \Rightarrow \vec{E B} = 3 \vec{E C} \end{aligned}$

وهذا يعني أن $\vec{E B} ∥ \vec{E C}$

لكن المتجهين ينطلقان من النقطة E نفسها، إذن النقاط الثلاثة B,C,E تقع على استقامة واحدة.