إجابات أتحقق من فهمي

النهايات والاتصال

أتحقق من فهمي صفحة (146):

$\text{a)}\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x-3}$

$\text{b)}\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right),f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}x& ,x\le 0\\ 1& ,x>0\end{array}$

الحل:

نلاحظ أنه بالتعويض المباشر = $\frac{0}{0}$  $\Leftarrow$ تحتاج إلى علاج:

$\underset{x\to 3}{lim}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}\Rightarrow {\mathrm{Lim}}_{x\to 3} x+3=3+3=6$

أتحقق من فهمي صفحة (148):

أجد كلاً من النهايات الآتية بيانياً:

$\text{a)}\underset{x\to 2}{lim}\frac{1}{x-2}$

$\text{b)}\underset{x\to -3}{lim}\frac{1}{(x+3{)}^2}$

الحل:

بما أن الاقتران متشعب $\Leftarrow$ نبحث عن النهاية من اليمين واليسار.

    $\begin{array}{r}{\mathrm{Lim}}_{x\to 0^{+}}1=1\\ {\mathrm{Lim}}_{x\to 0^{-}}x=0\end{array}$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim} f\left(x\right)\ne {\mathrm{Lim}}_{x\to 0^{-}}f\left(x\right)\Rightarrow$

$\therefore {\mathrm{Lim}}_{x\to 0}f\left(x\right)\mathrm{غير} \mathrm{موجودة}$

أتحقق من فهمي صفحة (150):

أستعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي:

$\text{ a) }\underset{x\to 1}{lim} \left(2x^3+3x^2-4\right)$

$\text{ b) }\underset{x\to 4}{lim} \frac{\sqrt{1+3x^2}}{3x-2}$

الحل:

$\begin{array}{r}2(1{)}^3+3(1{)}^2-4\\ =2+3-4\\ =1\end{array}$

$\frac{\sqrt{1+3(4{)}^2}}{3\left(4\right)-2}=\frac{\sqrt{49}}{10}=\frac{7}{10}$

أتحقق من فهمي صفحة (151):

أجد كل نهاية ممّا يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فأذكر السبب:

$\text{a)}\underset{x\to 2}{lim}(3x^2-5x+4)$

$\text{b)}\underset{x\to -1}{lim}\sqrt{1-4x^2}$

$\text{c)}\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^3-5x-6}{x^2-2}$

$\text{d)}\underset{x\to 4}{lim}\frac{x^2-16}{x-4}$

الحل:

a) $3(2{)}^2-5(2)+4=6$

$\sqrt{1-4(-1{)}^2}=\sqrt{-3}$

بما أن  = -1x لا تنتمي لمجال $\sqrt{1 - 4x2}$ إذن لا يمكن إيجاد النهاية بالتعويض المباشر.

$\frac{(3{)}^3-5(3)-6}{(3{)}^2-2}=\frac{6}{7}$

إذن x = 4 لا تنتمي إلى مجال $\frac{x^2-16}{x-4}$

إذن لا يمكن إيجادي النهاية بالتعويض المباشر.