إجابات كتاب التمارين

الاقترانات اللوغاريتمية

أكتب كل معادلة لوغاريتمية ممّا يأتي في صورة أسيّة:

(1) log₃ 729 = 6

3⁶ = 729

(2) log₅ 625 = 4

5⁴ = 625

(3) log₆₄ 4 = $\frac{1}{3}$

${64}^{\frac{1}{3}}$= 4

(4) log₆₄ 8 = 0.5

64^0.5 = 8

(5) log₇ 1 = 0

7⁰ = 1

(6) log₄₃ 43 = 1

43¹ = 43

أكتب كل معادلة أسيّة ممّا يأتي في صورة لوغاريتمية:

(7) 4⁵ = 1024

log₄ 1024 = 5

(8) 3^-4 = $\frac{1}{81}$

log₃ $\frac{1}{81}$ = -4

(9) 7³ = 343

log₇ 343 = 3

(10) 5^-2 = 0.04

log₅ 0.04 = -2

(11) (32)¹ = 32

log₃₂ 32 = 1

(12) 8⁰ = 1

log₈ 1 = 0

أجد قيمة كلّ ممّا يأتي من دون استعمال الآلة الحاسبة:

(13) log₂ 64

log₂ 2⁶ = 6

(14) log₈₁ 9

log₈₁ 9 = y  → 81^y = 9

(9²)^y = 9

9^2y = 9

2y = 1

y = $\frac{1}{2}$ 

(15) log₂ 32 

log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5

(16) log₂₅ 125 

log₂₅ 125 = y  → 25^y = 125

(5²)^y = 5³

5^2y = 5³

2y = 3

y = $\frac{3}{2}$ 

(17) log₁₀ 0.0001 

log₁₀ 0.0001 = log₁₀ 10^-4 = -4

(18) ${\log }_{\frac{5}{3}}$ 1

${\log }_{\frac{5}{3}}$ 1 = 0

(19) ${\log }_{\frac{1}{6}}$ 6

${\log }_{\frac{1}{6}}$ 6 = y → ($\frac{1}{6}$)^y = 6

(6^-1)^y = 6¹

6^-y = 6¹

-y = 1

y = -1

(20) ${\left(10\right)}^{{\log }_{10}\frac{1}{9}}$

${\left(10\right)}^{{\log }_{10}\frac{1}{9}}$ = $\frac{1}{9}$

(21) log₃ $\frac{1}{\sqrt{{\left(3\right)}^6}}$

log₃ $\frac{1}{\sqrt{{\left(3\right)}^6}}$ = log₃ $\frac{1}{3^3}$ = log₃ 3^-3 = -3

(22) log_b $\sqrt[7]{b}$

log_b $\sqrt[7]{b}$ = log_b $b^{\frac{1}{7}}$ = $\frac{1}{7}$

(23) log₁₀ (1 x 10^-5)

log₁₀ (1 x 10^-5) = log₁₀ 10^-5 = -5

(24) $4^{{\log }_{4}3}$

$4^{{\log }_{4}3}$ = 3

أمثل كلّ اقتران ممّا يأتي بيانياً، ثم أحدّد مجاله ومداه ومقطعيه من المحورين الإحداثيين وخطوط تقاربه، مبيناً إذا كان مُتناقصاً أم مُتزايداً:

(25) f(x) = log₈ x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R⁺ أي (0, ∞)

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد.

(26) g(x) = ${\log }_{\frac{1}{10}}$ x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R⁺ أي (0, ∞)

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متناقص.

(27) h(x) = ${\log }_{\frac{1}{4}}$ x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R⁺ أي (0, ∞)

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متناقص.

(28) r(x) = ${\log }_{\frac{1}{9}}$ x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R⁺ أي (0, ∞)

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متناقص.

(29) f(x) = log₉ x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R⁺ أي (0, ∞)

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد.

(30) g(x) = log₁₁ x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R⁺ أي (0, ∞)

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد.

أجد مجال كلّ اقتران لوغاريتمي ممّا يأتي:

(31) f(x) = log₈ (x + 3)

x + 3 > 0

x > -3

مجال هذا الاقتران هو (-3, ∞)

(32) f(x) = 7 + 2 log₅ (x - 2)

x - 2 > 0

x > 2

مجال هذا الاقتران هو (2, ∞)

(33) f(x) = -5 log₇ (-x)

-x > 0

x < 0

مجال هذا الاقتران هو (∞, 0)

(34) ضوء: تمثل المعادلة: log₁₀ ($\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{12}}$) = -0.0125x العلاقة بين شدّة الضوء I بوحدة lumen والعمق x بالأمتار في إحدى البحيرات. كم تبلغ شدّة الضوء عند عمق 10 m ؟

log₁₀ ($\frac{1}{12}$) = -0.0125 (10)

log₁₀ ($\frac{1}{12}$) = -0.125

10^-0.125 = $\frac{1}{12}$

I = 12 x 10^-0.125 ≈ 118.5 lumen