تطبيقات القيم القصوى

مسألة اليوم

مسألة اليوم

تطبيقات القيم القصوى

يحيط سياج ارتفاعه بمبنى، ويبعد عنه مسافة 1 m كما في الشكل المجاور. أجد طول أقصر سُلم قد يصل من الأرض إلى المبنى، ويمر فوق السياج ملامساً له.

ليكن Ɵ قياس الزاوية بين السلم والأرض، L طول السلم، كما في الشكل:

$\begin{aligned} s i n θ = & \frac{3 \sqrt{3}}{L_{1}}, c o s θ = \frac{1}{L_{2}}, 0 < θ < \frac{π}{2} \\ L = L_{1} + L_{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{s i n θ} + \frac{1}{c o s θ} \\ \frac{d L}{d θ} = \frac{- 3 \sqrt{3} c o s θ}{s i n^{2} θ} + \frac{s i n θ}{c o s^{2} θ} \\ \frac{d L}{d θ} = 0 & \to 3 \sqrt{3} c o s^{3} θ = s i n^{3} θ \\ \to t a n θ = 3 \sqrt{3} = {\sqrt{3}}^{3} \\ \to t a n θ = \sqrt{3} \\ \to θ = \frac{π}{3} \end{aligned}$

$θ = \frac{π}{3}$ قيمة حرجة وحيدة، نستخدم اختبار المشتقة الأولى وندرس إشارة $\frac{d L}{d θ}$ :

للاقتران L قيمة صغرى محلية عندما $θ = \frac{π}{3}$

إذن أقل طول ممكن للسلم هو:

$L (\frac{π}{3}) = \frac{3 \sqrt{3}}{s i n \frac{π}{3}} + \frac{1}{c o s \frac{π}{3}} = 6 + 2 = 8 m$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

04 / 11 / 2022

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025