أتدرب وأحل المسائل

الأعداد المركبة

أجد قيمة الجذر الرئيس في كلّ ممّا يأتي بدلالة i :

(1) $\sqrt{-19}$

$\sqrt{-19}=\sqrt{-1\times 19}=\sqrt{-1}\times \sqrt{19}=i\sqrt{19}$

(2)  $\sqrt{\frac{-12}{25}}$

 $\sqrt{-\frac{12}{25}}=\sqrt{-1\times \frac{12}{25}}=\sqrt{-1}\times \sqrt{\frac{12}{25}}=\frac{2\sqrt{3}}{5}i$

(3) $\sqrt{\frac{-9}{32}}$

$\sqrt{-\frac{9}{32}}=\sqrt{-1\times \frac{9}{32}}=\sqrt{-1}\times \sqrt{\frac{9}{32}}=\frac{3}{4\sqrt{2}}i$

(4) $\sqrt{-53}$

$\sqrt{-53}=\sqrt{-1\times 53}=\sqrt{-1}\times \sqrt{53}=i\sqrt{53}$

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي في أبسط صورة مفترضاً أنّ $\sqrt{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathit{i}$ :

(5) i²⁶

$i^{26}={\left(i^2\right)}^{13}=-1$

(6) i³⁹

 $i^{39}={\left(i^2\right)}^{19}\times i=(-1{)}^{19}\times i=-i$

(7) $\left(i\right)\left(2i\right)(-7i)$

$\left(i\right)\left(2i\right)(-7i)=\left(2i^2\right)(-7i)=(-2)(-7i)=14i$

(8) $\sqrt{-6}\times \sqrt{-6}$

$\begin{array}{rl}\sqrt{-6}\times \sqrt{-6}& =\sqrt{-1\times 6}\times \sqrt{-1\times 6}\\ & =i\sqrt{6}\times i\sqrt{6}\\ & =6i^2=-6\end{array}$

(9) $\sqrt{-4}\times \sqrt{-8}$

$\begin{array}{rl}\sqrt{-4}\times \sqrt{-8}& =\sqrt{-1\times 4}\times \sqrt{-1\times 8}\\ & =2i\times 2\sqrt{2}i\\ & =4\sqrt{2}{i}^2=-4\sqrt{2}\end{array}$

(10) $2i\times \sqrt{-9}$

$\begin{array}{rl}2i\times \sqrt{-9}=& 2i\times \sqrt{-1\times 9}\\ & =2i\times 3i\\ & =6i^2=-6\end{array}$

أكتب في كلّ ممّا يأتي العدد المركب z بالصورة القياسية:

(11) $\frac{2+\sqrt{-4}}{2}$

$\frac{2+\sqrt{-4}}{2}=\frac{2+2i}{2}=1+i$

(12) $\frac{8+\sqrt{-16}}{2}$

$\frac{8+\sqrt{-16}}{2}=\frac{8+4i}{2}=4+2i$

(13) $\frac{10-\sqrt{-50}}{5}$

$\frac{10-\sqrt{-50}}{5}=\frac{10-5i\sqrt{2}}{5}=2-i\sqrt{2}$

أحدد الجزء الحقيقي والجزء التخيلي لكلّ من الأعداد المركبة الآتية، ثم أمثلها جميعاً في المستوى المركب نفسه:

(14) z = 2 + 15i

$\begin{array}{rl}z& =2+15i\\ & \to Re\left(z\right)=2 , Im\left(z\right)=15\end{array}$

(15) z = 10i

$\begin{array}{rl}& z=10i\\ & \to Re\left(z\right)=0 , Im\left(z\right)=10\end{array}$

(16) z = -16 - 2i

$\begin{array}{rl}z& =-16-2i\\ & \to Re\left(z\right)=-16 , Im\left(z\right)=-2\end{array}$

أمثل العدد المركب ومرافقه بيانياً في المستوى المركب في كل ممّا يأتي:

(17) z = -15 + 3i

$\overline{z}$ = -15 – 3i

(18) z = 8 - 7i

$\overline{z}$ = 8 + 7i

(19) z = 12 + 17i

$\overline{z}$ = 12 – 17i

(20) z = -3 - 25i

$\overline{z}$ = -3 + 25i

(21) 3i

$\overline{z}$ = – 3i

(22) 15

$\overline{z}$ = 15

أجد $\overline{z}\text{ ،}\left|z\right|$  لكل ممّا يأتي:

(23) z = -5 + 5i

$\begin{array}{rl}& z=-5+5i\\ & \overline{z}=-5-5i\\ & \left|z\right|=\sqrt{(-5{)}^2+(5{)}^2}=5\sqrt{2}\end{array}$

(24) z = 3 - 3i $\sqrt{3}$

$\begin{array}{rl}& z=3+3\sqrt{3}i\\ & \overline{z}=3-3\sqrt{3}i\\ & \left|z\right|=\sqrt{(3{)}^2+(3\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{9+27}=6\end{array}$

(25) z = 6 - 8i

$\begin{array}{rl}& z=6-8i\\ & \overline{z}=6+8i\\ & \left|z\right|=\sqrt{(6{)}^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=10\end{array}$