التكامل المحدود للتوجيهي الأدبي

أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

التكامل المحدود

أتحقق من فهمي صفحة (23):

أجد قيمة كل من التكاملين الآتيين:

(a) $\int_{1}^{4} (8 x - \sqrt{x}) d x$

$\begin{aligned} \int_{1}^{4} (8 x - \sqrt{x}) d x & = \int_{1}^{4} (8 x - x^{\frac{1}{2}}) d x \\ = {(4 x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) |}_{1}^{4} \\ = {(4 x^{2} - \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}}) |}_{1}^{4} \\ = (4 (4)^{2} - \frac{2}{3} \sqrt{4^{3}}) - (4 (1)^{2} - \frac{2}{3} \sqrt{1^{3}}) \\ = \frac{166}{3} \end{aligned}$

(b) $\int_{- 1}^{2} (1 - x) (1 + 3 x) d x$

$\begin{aligned} \int_{- 1}^{2} (1 - x) (1 + 3 x) d x & = \int_{- 1}^{2} (1 + 3 x - x - 3 x^{2}) d x \\ = \int_{- 1}^{2} (1 + 2 x - 3 x^{2}) d x \\ = {(x + x^{2} - x^{3}) |}_{- 1}^{2} \\ = (2 + 2^{2} - 2^{3}) - (- 1 + (- 1)^{2} - (- 1)^{3}) \\ = - 3 \end{aligned}$

أتحقق من فهمي صفحة (24):

إذا كان: $\int_{0}^{k} 6 x^{2} d x = 2$ ، فأجد قيمة الثابت k .

$\begin{aligned} \int_{0}^{k} 6 x^{2} d x = 2 \\ {2 x^{3} |}_{0}^{k} = 2 \\ 2 k^{3} - 2 (0)^{3} = 2 \\ 2 k^{3} = 2 \\ k^{3} = 1 \\ k = 1 \end{aligned}$

خصائص التكامل المحدود

أتحقق من فهمي صفحة (26):

إذا كان: $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 5, \int_{4}^{1} f (x) d x = 2, \int_{- 1}^{1} h (x) d x = 7$ ، فأجد قيمة كل مما يأتي:

(a) $\int_{- 1}^{1} (f (x) + 3 h (x)) d x$

$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} (f (x) + 3 h (x)) d x & = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{- 1}^{1} 3 h (x) d x \\ = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + 3 \int_{- 1}^{1} h (x) d x \\ = 5 + 3 (7) \\ = 26 \end{aligned}$

(b) $\int_{- 1}^{4} f (x) d x$

$\begin{aligned} \int_{- 1}^{4} f (x) d x & = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{4} f (x) d x \\ = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{4}^{1} f (x) d x \\ = 5 - 2 \\ = 3 \end{aligned}$

(c) $\int_{1}^{- 1} 4 h (x) d x$

$\begin{aligned} \int_{1}^{- 1} 4 h (x) d x & = - \int_{- 1}^{1} 4 h (x) d x \\ = - 4 \int_{- 1}^{1} h (x) d x \\ = - 4 (7) \\ = - 28 \end{aligned}$

تكاملات الاقترانات المتشعبة

أتحقق من فهمي صفحة (27):

(a) إذا كان: $f (x) = {\begin{cases} 1 + x & , x < 1 \\ 2 x & , x \geq 1 \end{cases}$ ، فأجد قيمة: $\int_{- 2}^{2} f (x) d x$

بما أن الاقتران تشعب عند 1 ، فإنني أجزىء التكامل عنده:

$\begin{aligned} \int_{- 2}^{2} f (x) d x & = \int_{- 2}^{1} (1 + x) d x + \int_{1}^{2} 2 x d x \\ = {(x + \frac{1}{2} x^{2}) |}_{- 2}^{1} + {x^{2} |}_{1}^{2} \\ = (1 + \frac{1}{2} (1)^{2}) - (- 2 + \frac{1}{2} (- 2)^{2}) + (2^{2} - 1^{2}) \\ = \frac{9}{2} \end{aligned}$

(b) إذا كان: $f (x) = | x - 3 |$ ، فأجد قيمة: $\int_{- 1}^{4} f (x) d x$

أعيد تعريف اقتران القيمة المطلقة:

$f (x) = | x - 3 | = {\begin{cases} 3 - x, & x < 3 \\ x - 3, & x \geq 3 \end{cases}$

بما أن الاقتران تشعب عند 3 ، فإنني أجزىء التكامل عنده:

$\begin{aligned} \int_{- 1}^{4} f (x) d x = \int_{- 1}^{3} (3 - x) d x + \int_{3}^{4} (x - 3) d x \\ = {(3 x - \frac{1}{2} x^{2}) |}_{- 1}^{3} + {(\frac{1}{2} x^{2} - 3 x) |}_{3}^{4} \\ = (3 (3) - \frac{1}{2} (3)^{2}) - (3 (- 1) - \frac{1}{2} (- 1)^{2}) + (\frac{1}{2} (4)^{2} - 3 (4)) - (\frac{1}{2} (3)^{2} - 3 (3)) \\ = \frac{17}{2} \end{aligned}$

التكامل المحدود، ومقدار التغير

أتحقق من فهمي صفحة (29):

معتمداً المعلومات الوارد ذكرها في المثال 5 ، أجد مقدار التغير الشهري في أرباح الشركة عند زيادة مبيعاتها الشهرية إلى 1500 جهاز، علماً بأنّ عدد الأجهزة المبيعة الآن هو 1400 جهاز.

$P^{'} (x) = 165 - 0.1 x$

مقدار التغير الشهري في أرباح الشركة عند زيادة مبيعاتها الشهرية من 1400 جهاز إلى 1500 جهاز هو:

$\begin{aligned} f (b) - f (a) = \int_{a}^{b} C^{'} (x) d x \\ f (1500) - f (1400) = \int_{1400}^{1500} (165 - 0.1 x) d x \\ = {(165 x - 0.05 x^{2}) |}_{1400}^{1500} \\ = (165 (1500) - 0.05 (1500)^{2}) - (165 (1400) - 0.05 (1400)^{2}) \\ = 2000 \end{aligned}$

إذن، عند زيادة مبيعات الشركة من 1400 جهاز إلى 1500 جهاز، فإن أرباح الشركة ستزيد شهرياً بمقدار 2000 دينار.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

01 / 02 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025