أتحقق من فهمي

التكامل المحدود

التكامل المحدود

أتحقق من فهمي صفحة (23):

أجد قيمة كل من التكاملين الآتيين:

(a) ${\int }_1^4(8x-\sqrt{x})dx$

$\begin{array}{rl}{\int }_1^4(8x-\sqrt{x})dx& ={\int }_1^4(8x-x^{\frac{1}{2}})dx\\ & ={(4x^2-\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}})|}_1^4\\ & ={(4x^2-\frac{2}{3}\sqrt{x^3})|}_1^4\\ & =\left(4\right(4{)}^2-\frac{2}{3}\sqrt{4^3})-\left(4\right(1{)}^2-\frac{2}{3}\sqrt{1^3})\\ & =\frac{166}{3}\end{array}$

(b) ${\int }_{-1}^2(1-x)(1+3x)dx$

$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^2(1-x)(1+3x)dx& ={\int }_{-1}^2(1+3x-x-3x^2)dx\\ & ={\int }_{-1}^2(1+2x-3x^2)dx\\ & ={(x+x^2-x^3)|}_{-1}^2\\ & =(2+2^2-2^3)-(-1+(-1{)}^2-(-1{)}^3)\\ & =-3\end{array}$

أتحقق من فهمي صفحة (24):

إذا كان: ${\mathbf{\int }}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{k}}\mathbf{6}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathit{d}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{2}$ ، فأجد قيمة الثابت k .

$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{k}6x^{2}dx=2\\ & {2x^3|}_0^k=2\\ & 2k^3-2(0{)}^3=2\\ & 2k^3=2\\ & k^3=1\\ & k=1\end{array}$

خصائص التكامل المحدود

أتحقق من فهمي صفحة (26):

إذا كان: ${\mathbf{\int }}_{\mathbf{-}\mathbf{1}}^{\mathbf{1}}\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathit{d}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{,}{\mathbf{\int }}_{\mathbf{4}}^{\mathbf{1}}\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathit{d}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}{\mathbf{\int }}_{\mathbf{-}\mathbf{1}}^{\mathbf{1}}\mathit{h}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathit{d}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{7}$ ، فأجد قيمة كل مما يأتي:

(a) ${\int }_{-1}^1\left(f\right(x)+3h(x\left)\right)dx$

$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^1\left(f\right(x)+3h(x\left)\right)dx& ={\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx+{\int }_{-1}^{1}3h\left(x\right)dx\\ & ={\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx+3{\int }_{-1}^{1}h\left(x\right)dx\\ & =5+3\left(7\right)\\ & =26\end{array}$

(b) ${\int }_{-1}^{4}f\left(x\right)dx$

$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^{4}f\left(x\right)dx& ={\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx+{\int }_1^{4}f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx-{\int }_4^{1}f\left(x\right)dx\\ & =5-2\\ & =3\end{array}$

(c) ${\int }_1^{-1}4h\left(x\right)dx$

$\begin{array}{rl}{\int }_1^{-1}4h\left(x\right)dx& =-{\int }_{-1}^{1}4h\left(x\right)dx\\ & =-4{\int }_{-1}^{1}h\left(x\right)dx\\ & =-4\left(7\right)\\ & =-28\end{array}$

تكاملات الاقترانات المتشعبة

أتحقق من فهمي صفحة (27):

(a) إذا كان: $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1+x& ,x<1\\ 2x& ,x\ge 1\end{array}$ ، فأجد قيمة: ${\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx$

بما أن الاقتران تشعب عند 1 ، فإنني أجزىء التكامل عنده:

$\begin{array}{rl}{\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx& ={\int }_{-2}^1(1+x)dx+{\int }_1^{2}2xdx\\ & ={(x+\frac{1}{2}{x}^2)|}_{-2}^1+{x^2|}_1^2\\ & =(1+\frac{1}{2}(1{)}^2)-(-2+\frac{1}{2}(-2{)}^2)+(2^2-1^2)\\ & =\frac{9}{2}\end{array}$

(b) إذا كان: $f\left(x\right)=|x-3|$ ، فأجد قيمة: ${\int }_{-1}^{4}f\left(x\right)dx$

أعيد تعريف اقتران القيمة المطلقة:

$f\left(x\right)=|x-3|=\{\begin{array}{ll}3-x,& x<3\\ x-3,& x\ge 3\end{array}$

بما أن الاقتران تشعب عند 3 ، فإنني أجزىء التكامل عنده:

$\begin{array}{rl}& {\int }_{-1}^{4}f\left(x\right)dx={\int }_{-1}^3(3-x)dx+{\int }_3^4(x-3)dx\\ & ={(3x-\frac{1}{2}{x}^2)|}_{-1}^3+{(\frac{1}{2}{x}^2-3x)|}_3^4\\ & =\left(3\right(3)-\frac{1}{2}(3{)}^2)-\left(3\right(-1)-\frac{1}{2}(-1{)}^2)+\left(\frac{1}{2}\right(4{)}^2-3\left(4\right))-\left(\frac{1}{2}\right(3{)}^2-3\left(3\right))\\ & =\frac{17}{2}\end{array}$

التكامل المحدود، ومقدار التغير

أتحقق من فهمي صفحة (29):

معتمداً المعلومات الوارد ذكرها في المثال 5 ، أجد مقدار التغير الشهري في أرباح الشركة عند زيادة مبيعاتها الشهرية إلى 1500 جهاز، علماً بأنّ عدد الأجهزة المبيعة الآن هو 1400 جهاز.

$P^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=165-0.1x$

مقدار التغير الشهري في أرباح الشركة عند زيادة مبيعاتها الشهرية من 1400 جهاز إلى 1500 جهاز هو:

$\begin{array}{rl}& f\left(b\right)-f\left(a\right)={\int }_a^b{C}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)dx\\ & f\left(1500\right)-f\left(1400\right)={\int }_{1400}^{1500}(165-0.1x)dx\\ & ={(165x-0.05x^2)|}_{1400}^{1500}\\ & =\left(165\right(1500)-0.05(1500{)}^2)-\left(165\right(1400)-0.05(1400{)}^2)\\ & =2000\end{array}$

إذن، عند زيادة مبيعات الشركة من 1400 جهاز إلى 1500 جهاز، فإن أرباح الشركة ستزيد شهرياً بمقدار 2000 دينار.