إجابات كتاب التمارين

الشرط الأولي

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران $\mathbf{f}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}$، ونقطة يمر بها منحنى $\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{f}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}$ أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد معادلة الاقتران $\mathbf{f}\mathbf{\left(}\mathbf{x}\mathbf{\right)}$:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x-2;(-1,2)$ (1)

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int (3x-2)dx=\frac{3}{2}{x}^2-2x+C\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=\frac{3}{2}{x}^2-2x+C\\ & f(-1)=2\Rightarrow \frac{3}{2}+2+C=2\Rightarrow C=-\frac{3}{2}\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=\frac{3}{2}{x}^2-2x-\frac{3}{2}\end{array}$

 $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{x+1}{\sqrt{x}};(4,5)$ (2)

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int \frac{x+1}{\sqrt{x}}dx=\int (\frac{x}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}})dx=\int (x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}})dx\\ & =\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+2\sqrt{x}+C\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+2\sqrt{x}+C\\ & f\left(4\right)=5\Rightarrow \frac{16}{3}+4+C=5\Rightarrow C=-\frac{13}{3}\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+2\sqrt{x}-\frac{13}{3}\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-x(x+1);(-1,5)$ (3)

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int -x(x+1)dx=\int (-x^2-x)dx=-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+C\\ & f(-1)=5\Rightarrow \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+C=5\Rightarrow C=\frac{31}{6}\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{31}{6}\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=x^3-\frac{2}{x^2}+2;(1,3)$ (4)

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int (x^3-\frac{2}{x^2}+2)dx={\int }_0(x^3-2x^{-2}+2)dx\\ & =\frac{1}{4}{x}^4+\frac{2}{x}+2x+C\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{2}{x}+2x+C\\ & f\left(1\right)=3\Rightarrow \frac{1}{4}+2+2+C=3\Rightarrow C=-\frac{5}{4}\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{x}+2x-\frac{5}{4}\end{array}$

 $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=x+\sqrt{x};(1,2)$ (5)

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int (x+\sqrt{x})dx=\int (x+x^{\frac{1}{2}})dx=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C\\ & f\left(1\right)=2\Rightarrow \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+C=2\Rightarrow C=\frac{5}{6}\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+\frac{5}{6}\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-\frac{10}{x^2};(1,15)$ (6)

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int -\frac{10}{x^2}dx=\int -10x^{-2}dx=10x^{-1}+C=\frac{10}{x}+C\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=\frac{10}{x}+C\\ & f\left(1\right)=15\Rightarrow 10+C=15\Rightarrow C=5\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=\frac{10}{x}+5\end{array}$

(7) إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$هو $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\sqrt{x}$، فأجد قاعدة الاقتران $f\left(x\right)$، علماً بأن منحناه يمر بالنقطة $(9,25)$.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C\\ & f\left(9\right)=25\Rightarrow \frac{54}{3}+C=25\Rightarrow C=7\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+7\end{array}$

(8) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة $y$ هو: $\frac{dy}{dx}=\frac{2}{x^2}$، فأجد قاعدة العلاقة $y$، علماً بأن منحناها يمر بالنقطة $(2,4)$.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int \frac{2}{x^2}dx=\int 2x^{-2}dx=-2x^{-1}+C=-\frac{2}{x}+C\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=-\frac{2}{x}+C\\ & f\left(2\right)=4\Rightarrow -1+C=4\Rightarrow C=5\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=-\frac{2}{x}+5\end{array}$

(9) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة $y$ هو: $\frac{dy}{dx}=3x^2-12x+8$، ومر منحناها بنقطة الأصل، فأجد الإحداثي $x$ لجميع نقاط تقاطع منحنى العلاقة مع المحور $x$، مبرراً إجابتي.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int (3x^2-12x+8)dx=x^3-6x^2+8x+C\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=x^3-6x^2+8x+C\\ & f\left(0\right)=0\Rightarrow x^3-6x^2+8x+C=0\Rightarrow C=0\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=x^3-6x^2+8x\end{array}$

لإيجاد الإحداثيات لنقاط تقاطع المنحني مع محور$x$ نفرض $y=0$

$\begin{array}{rl}& 0=x^3-6x^2+8x\Rightarrow x(x^2-6x+8)=0\Rightarrow x(x-2)(x-4)=0\\ & \Rightarrow x=0,x=2,x=4\end{array}$

(10) الإيراد الحدي: يمثل الاقتران: $R^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=x^2-3$ الإيراد الحدي (بالدينار) لكل قطعة تباع من منتجات إحدى الشركات، حيث $x$ عدد القطع المبيعة، و$R\left(x\right)$ إيراد بيع $x$ قطعة بالدينار. أجد اقتران الإيراد $R\left(x\right)$، علماً بأن $R\left(0\right)=0$.

إرشاد: يمثل الإيراد الحدي مشتقة اقتران الإيراد.

$\begin{array}{rl}& R\left(x\right)=\int (x^2-3)dx=\frac{1}{3}{x}^3-3x+C\\ & \Rightarrow R\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-3x+C\\ & R\left(0\right)=0\Rightarrow 0-0+C=0\Rightarrow C=0\\ & \Rightarrow R\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-3x\end{array}$

(11) يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: $v\left(t\right)=3t^2-12t+11$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و$v$ سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد ثانيتين من بدء الحركة.

$\begin{array}{rl}& s\left(t\right)=\int (3t^2-12t+11)dt=t^3-6t^2+11t+C\\ & \Rightarrow s\left(t\right)=t^3-6t^2+11t+C\\ & s\left(0\right)=0\Rightarrow 0+0+0+C=0\Rightarrow C=0\\ & \Rightarrow s\left(t\right)=t^3-6t^2+11t\\ & \Rightarrow s\left(2\right)=(2{)}^3-6(2{)}^2+11\left(2\right)=8-24+22=6\mathrm{m}\end{array}$

(12) يتحرك جسيم في مسار مستقيم، ويعطى تسارعه بالاقتران: $a\left(t\right)=6t-30$، حيث $t$ الزمن بالثواني ، و$a$ التسارع بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها 72m/s، فأجد موقعه بعد 3 ثوان من الحركة.

$\begin{array}{rl}& v\left(t\right)=\int (6t-30)dt=3t^2-30t+C\\ & \Rightarrow v\left(t\right)=3t^2-30t+C\\ & v\left(0\right)=72\Rightarrow 0+0+0+C=72\Rightarrow C=72\\ & \Rightarrow v\left(t\right)=3t^2-30t+72\\ & s\left(t\right)=\int (3t^2-30t+72)dt=t^3-15t^2+72t+C\\ & \Rightarrow s\left(t\right)=t^3-15t^2+72t+C\\ & s\left(0\right)=0\Rightarrow 0+0+0+C=0\Rightarrow C=0\\ & \Rightarrow s\left(t\right)=t^3-15t^2+72t\\ & \Rightarrow s\left(3\right)=(3{)}^3-15(3{)}^2+72\left(3\right)=27-135+216=108m\end{array}$