حمّل تطبيق منهاجي الجديد

منهاجي صار أسرع من خلال التطبيق

  أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

التوزيع الهندسي

أبين إذا كانت التجربة العشوائية تُمثل تجربة احتمالية هندسية في كل مما يأتي:

(1) عدد الأسئلة التي ستجيب عنها أسماء إجابة صحيحة من بين 25 سـؤالاً من نوع الاختيار من متعدد، لكل منها 5 بدائل، واحد منها فقط صحيح، في حال الإجابة عن الأسئلة جميعها بصورة عشوائية.

نبحث في تحقق الشروط الأربعة:

- الشرط الأول: اشتمال التجربة على محاولات متكررة (تجيب أسماء عن عدة أسئلة) ومستقلة (الإجابة عن سؤال بشكل صحيح أو غير صحيح لا يؤثر في صحة الإجابة عن الأسئلة الأخرى)، إذن الشرط الأول محقق.

- الشرط الثاني : فرز النتائج الممكنة في كل محاولة إلى نجاح (الإجابة بشكل صحيح) أو فشل (الإجابة بشكل غير صحيح)، هذا الشرط محقق.

- الشرط الثالث: ثبات احتمال النجاح في كل مرة، وهو 2 .0، هذا شرط محقق.

- الشرط الرابع : التوقف عند أول نجاح، وهو غير محقق، لأن أسماء ستتوقف بعد الإجابة عن الأسئلة  جميعها.

إذن، هذه التجربة العشوائية لا تمثل تجربة احتمالية هندسية.

(2) رمى لاعب كرة سلة الكرة نحو الهدف بشكل متكرر، والتوقف عند إحراز الهدف أول مرة، علماً بأن احتمال إحرازه الهدف في كل مرة هو 0.

نبحث في تحقق الشروط الأربعة:

- الشرط الأول: اشتمال التجربة على محاولات متكررة (تم رمي كرة السلة عدة مرات) ومستقلة (إصابة الهدف أو عدمه في كل مرة لا يؤثر في نتيجة إصابته في المرات الأخرى)، إذن الشرط الأول محقق.

- الشرط الثاني: فرز النتائج الممكنة في كل محاولة إلى نجاح (إحراز الهدف) أو فشل (عدم إحراز الهدف)، هذا الشرط محقق.

- الشرط الثالث: ثبات احتمال النجاح في كل مرة، وهو 0.3، هذا شرط محقق.

- الشرط الرابع: التوقف عند أول نجاح، وهو محقق، لأن اللاعب سيتوقف بعد إصابته الهدف لأول مرة.

إذن، هذه التجربة العشوائية تمثل تجربة احتمالية هندسية.

إذا كان: begin mathsize 20px style bold italic X bold tilde bold italic G bold italic e bold italic o bold invisible function application bold left parenthesis bold 0 bold. bold 2 bold right parenthesis end style، فأجد كلاً مما يأتي، مقرباً إجابتي إلى أقرب 3 منازل عشرية:

begin mathsize 20px style P left parenthesis X equals 2 right parenthesis end style (3)

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell P left parenthesis X equals 2 right parenthesis end cell cell equals left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 1 minus 0.2 right parenthesis to the power of 2 minus 1 end exponent end cell row blank cell equals left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis to the power of 1 end cell row blank cell almost equal to 0.16 end cell end table end style 

begin mathsize 20px style P left parenthesis X less or equal than 3 right parenthesis end style (4)

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell P left parenthesis X less or equal than 3 right parenthesis end cell cell equals P left parenthesis X equals 1 right parenthesis plus P left parenthesis X equals 2 right parenthesis plus P left parenthesis X equals 3 right parenthesis end cell row blank cell equals left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis to the power of 0 plus left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis to the power of 1 plus left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis squared end cell row blank cell almost equal to 0.488 end cell end table end style 

begin mathsize 20px style P left parenthesis X greater or equal than 3 right parenthesis end style (5)

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell P left parenthesis X greater or equal than 3 right parenthesis end cell cell equals 1 minus P left parenthesis X less than 3 right parenthesis end cell row blank cell equals 1 minus left parenthesis P left parenthesis X equals 1 right parenthesis plus P left parenthesis X equals 2 right parenthesis right parenthesis end cell row blank cell equals 1 minus left parenthesis left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis to the power of 0 plus left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis to the power of 1 right parenthesis end cell row blank cell equals 0.64 end cell end table end style 

begin mathsize 20px style P left parenthesis 3 less or equal than X less or equal than 5 right parenthesis end style (6)

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell P left parenthesis 3 less or equal than X end cell cell less or equal than 5 right parenthesis equals P left parenthesis X equals 3 right parenthesis plus P left parenthesis X equals 4 right parenthesis plus P left parenthesis X equals 5 right parenthesis end cell row blank cell equals left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis squared plus left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis cubed plus left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis to the power of 4 end cell row blank cell almost equal to 0.312 end cell end table end style 

begin mathsize 20px style P left parenthesis X less than 4 right parenthesis end style (7)

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell P left parenthesis X less than 4 right parenthesis end cell cell equals P left parenthesis X equals 1 right parenthesis plus P left parenthesis X equals 2 right parenthesis plus P left parenthesis X equals 3 right parenthesis end cell row blank cell equals left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis to the power of 0 plus left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis to the power of 1 plus left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis squared end cell row blank cell almost equal to 0.488 end cell end table end style 

begin mathsize 20px style P left parenthesis X greater than 4 right parenthesis end style (8)

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell P left parenthesis X greater than 4 right parenthesis end cell cell equals 1 minus P left parenthesis X less or equal than 3 right parenthesis end cell row blank cell equals 1 minus left parenthesis P left parenthesis X equals 1 right parenthesis plus P left parenthesis X equals 2 right parenthesis plus P left parenthesis X equals 3 right parenthesis right parenthesis end cell row blank cell equals 1 minus left parenthesis left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis to the power of 0 plus left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis to the power of 1 plus left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis squared right parenthesis end cell row blank cell equals 0.512 end cell end table end style 

begin mathsize 20px style P left parenthesis 1 less than X less than 3 right parenthesis end style (9)

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell P left parenthesis 1 less than X end cell cell less than 3 right parenthesis equals P left parenthesis X equals 2 right parenthesis end cell row blank cell equals left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis to the power of 1 end cell row blank cell equals 0.16 end cell end table end style 

begin mathsize 20px style P left parenthesis 4 less than X less or equal than 6 right parenthesis end style (10)

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell P left parenthesis 4 less than X end cell cell less or equal than 6 right parenthesis equals P left parenthesis X equals 5 right parenthesis plus P left parenthesis X equals 6 right parenthesis end cell row blank cell equals left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis to the power of 4 plus left parenthesis 0.2 right parenthesis left parenthesis 0.8 right parenthesis to the power of 5 end cell row blank cell almost equal to 0.147 end cell end table end style 

begin mathsize 20px style P left parenthesis X less than 1 right parenthesis end style (11)

begin mathsize 20px style P left parenthesis X less than 1 right parenthesis equals P left parenthesis X equals 0 right parenthesis equals 0 end style 

(12) ألقي حجر نرد منتظم ذو ثمانية أوجه مرقمة بالأرقام من 1 إلى 8 بشكل متكرر حتى ظهور العدد 7. أجد احتمال إلقاء حجر النرد 6 مرات.

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell P left parenthesis X equals 6 right parenthesis end cell cell equals left parenthesis 1 over 8 right parenthesis left parenthesis 1 minus 1 over 8 right parenthesis to the power of 6 minus 1 end exponent end cell row blank cell equals left parenthesis 1 over 8 right parenthesis left parenthesis 7 over 8 right parenthesis to the power of 5 end cell row blank cell equals 16807 over 262144 end cell end table end style

أجد التوقع لكل من المتغيرات العشوائية الآتية:

begin mathsize 20px style X tilde G e o left parenthesis 0.3 right parenthesis end style (13)

begin mathsize 20px style E left parenthesis X right parenthesis equals fraction numerator 1 over denominator 0.3 end fraction equals 10 over 3 almost equal to 3 end style

begin mathsize 20px style X tilde Geo invisible function application left parenthesis 3 over 7 right parenthesis end style (14)

begin mathsize 20px style E left parenthesis X right parenthesis equals fraction numerator 1 over denominator 3 over 7 end fraction equals 7 over 3 almost equal to 2 end style

begin mathsize 20px style X tilde Geo invisible function application left parenthesis 0.45 right parenthesis end style (15)

begin mathsize 20px style E left parenthesis X right parenthesis equals fraction numerator 1 over denominator 0.45 end fraction equals 100 over 45 almost equal to 2 end style

وحدة إنارة صناعة: وجد مصنع لوحدات الإنارة المكتبية أن احتمال أن تكون وحدة الإنارة معيبة هو 0.10. إذا مثّل X عدد وحدات الإنارة التي سيفحصها مراقب الجودة حتى إيجاد أول وحدة إنارة معيبة، فأجد كلاً مما يأتي:

(16) احتمال أن تكون وحدة الإنارة الخامسة هي أول وحدة معيبة يجدها مراقب الجودة.

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell P left parenthesis X equals 5 right parenthesis end cell cell equals left parenthesis 0.1 right parenthesis left parenthesis 1 minus 0.1 right parenthesis to the power of 5 minus 1 end exponent end cell row blank cell equals left parenthesis 0.1 right parenthesis left parenthesis 0.9 right parenthesis to the power of 4 end cell row blank cell almost equal to 0.066 end cell end table end style

احتمال أن يجد مراقب الجودة أول وحدة إنارة معيبة بعد فحص 5 وحدات إنارة هو 0.66 تقريباً.

(17) احتمال أن يفحص مراقب الجودة أكثر من 4 وحدات إنارة حتى إيجاد أول وحدة إنارة معيبة.

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell P left parenthesis X greater than 4 right parenthesis end cell cell equals 1 minus P left parenthesis X less or equal than 3 right parenthesis end cell row blank cell equals 1 minus left parenthesis P left parenthesis X equals 1 right parenthesis plus P left parenthesis X equals 2 right parenthesis plus P left parenthesis X equals 3 right parenthesis right parenthesis end cell row blank cell equals 1 minus left parenthesis left parenthesis 0.1 right parenthesis left parenthesis 0.9 right parenthesis to the power of 0 plus left parenthesis 0.1 right parenthesis left parenthesis 0.9 right parenthesis to the power of 1 plus left parenthesis 0.1 right parenthesis left parenthesis 0.9 right parenthesis squared right parenthesis end cell row blank cell equals 0.729 end cell end table end style

احتمال أن يجد مراقب الجودة أكثر من 4 وحدات إنارة حتى إيجاد أول وحدة إنارة معيبة هو 0.729

(18) العدد المتوقع من وحدات الإنارة التي سيفحصها مراقب الجودة حتى إيجاد أول وحدة إنارة معيبة.

begin mathsize 20px style E left parenthesis X right parenthesis equals fraction numerator 1 over denominator 0.10 end fraction equals 10 end style

إذن، يُتوقع أن يفحص مراقب الجودة 10 وحدات إنارة حتى يجد أول وحدة إنارة معيبة.

حجر نرد لعبة: اتفقت ليلى وزميلاتها على ألا تشارك أي منهن في لعبة حتى ترمي حجر نرد منتظماً، ويظهر الرقم 6. إذا أرادت ليلى المشاركة في اللعبة، وكان X يمثل عدد مرات رميها حجر النرد حتى ظهور العدد 6، فأجد كلًا مما يأتي:

(19) احتمال أن ترمي ليلى حجر النرد 3 مرات لكي تشارك في اللعبة.

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell P left parenthesis X equals 3 right parenthesis end cell cell equals left parenthesis 1 over 6 right parenthesis left parenthesis 1 minus 1 over 6 right parenthesis to the power of 3 minus 1 end exponent end cell row blank cell equals left parenthesis 1 over 6 right parenthesis left parenthesis 5 over 6 right parenthesis squared end cell row blank cell equals 25 over 216 end cell end table end style

(20) احتمال أن ترمي ليلى حجر النرد أكثر من 3 مرات لكي تشارك في اللعبة.

begin mathsize 20px style table attributes columnalign right left right left right left right left right left right left columnspacing 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em end attributes row cell P left parenthesis X greater than 3 right parenthesis end cell cell equals 1 minus P left parenthesis X less or equal than 3 right parenthesis end cell row blank cell equals 1 minus left parenthesis P left parenthesis X equals 1 right parenthesis plus P left parenthesis X equals 2 right parenthesis plus P left parenthesis X equals 3 right parenthesis right parenthesis end cell row blank cell equals 1 minus left parenthesis left parenthesis 1 over 6 right parenthesis left parenthesis 5 over 6 right parenthesis to the power of 0 plus left parenthesis 1 over 6 right parenthesis left parenthesis 5 over 6 right parenthesis to the power of 1 plus left parenthesis 1 over 6 right parenthesis left parenthesis 5 over 6 right parenthesis squared right parenthesis end cell row blank cell equals 125 over 216 end cell end table end style

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

النقاشات