أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

المساحات والحجوم

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي اقترانين

أتحقق من فهمي صفحة (77):

(a) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي اقترانين: g(x)=x2+1,g(x)=x، والمستقيمين x=0,x=3.

f(x)=g(x)x2+1=x

هذه المعادلة ليس لها حلول إذ أن المنحنيين لا يتقاطعان كما في الشكل أدناه.

الشكل

A=03(x2+1x)dx=13x3+x23x32|03=9+3230=1223 

(b) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي اقترانين: g(x)=2sinx،f(x)=sinx، والمستقيمين x=0,x=π.

f(x)=g(x)2sinx=sinxsinx=1x=π2

الشكل

نجد أن gf لكل قيم x، إذن:

A=0π(g(x)f(x))dx=0π((2sinx)sinx)dx=0π(22sinx)dx=2x+2cosx|0π=2π4

أتحقق من فهمي صفحة (79):

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي اقترانين: g(x)=x+2,f(x)=x2.

f(x)=g(x)x2=x+2x2x+2=0(x2)(x+1)=0x=2,x=1

الشكل

نلاحظ أن g>f  في الفترة (1,) إذن:

A=12(g(x)f(x))dx=12(x+2x2)dx=12x2+2x13x3|12=12(2)2+2(2)13(2)3(122+13)=92


التكامل، ومنحنى السرعة المتجهة - الزمن

أتحقق من فهمي صفحة (81):

الشكليبين الشكل المجاور منحنى السرعة المتجهة - الزمن لجسيم يتحرك على المحور x في الفترة الزمنية [0,5]. إذا بدأ الجسيم الحركة من x=3 عندما t=0، فأجد كلاً مما يأتي:

(a) إزاحة الجسيم في الفترة الزمنية المعطاة.

لتكن الإزاحة D

D=s(5)s(0)=05v(t)dt=A(R1)A(R2)=12(2+3.5)(1)12(1+1.5)(1)=1.5m

(b) المسافة التي قطعها الجسيم في الفترة الزمنية المعطاة.

المساحة التي قطعها الجسيم هي: 05|v(t)|dt

05|v(t)|dt=A(R1)+A(R2)=12(5.5)+12(2.5)=4m

(c) الموقع النهائي للجسيم.

في الفرع a وجدنا أن:

s(5)s(0)=1.5

وبتعويض s(0)=3 نجد أن:

s(5)3=1.5s(5)=4.5 ------


الحجوم الدورانية

أتحقق من فهمي صفحة (82):

أجد حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: f(x)=1x، والمحور x، والمستقيمين x=1,x=4، حول المحور x.

V=abπ(f(x))2=14πx2dx=πx|14=π4(π1)=3π4


حجم المجسم الدوراني الناتج من دوران منحنيي اقترانين

أتحقق من فهمي صفحة (85):

أجد حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين: f(x)=x، و g(x)=x2، حول المحور x.

f(x)=g(x)x=x2xx4=0x(1x3)=0x=0,x=1

الشكل

انلاحظ أن منحنى f يقع فوق منحنى g في الفترة [0,1]

V=01π((f(x))2(g(x))2)dx=01π(xx4)dx=π(12x215x5)|01=π((1215)0)=0.3π

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

النقاشات