أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

المعادلات التفاضلية

أحدد إذا كان الاقتران المعطى حلاً للمعادلة التفاضلية في كل مما يأتي:

$y = \sqrt{x}; x y^{'} - y = 0$ (1)

$\begin{aligned} y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ x y^{'} - y = x \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \sqrt{x} = \frac{1}{2} \sqrt{x} - \sqrt{x} = - \frac{1}{2} \sqrt{x} \neq 0 \end{aligned}$

إذن، $y = \sqrt{x}$ ليس حلاً للمعادلة التفاضلية $x y^{'} - y = 0$

$y = x \ln x - 5 x + 7; y^{''} - \frac{1}{x} = 0$ (2)

$\begin{aligned} y^{'} = x (\frac{1}{x}) + \ln x - 5 = \ln x - 4 \\ y^{''} = \frac{1}{x} \\ y^{''} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0 \end{aligned}$

إذن، $y = x \ln x - 5 x + 7$ هو حل للمعادلة التفاضلية $y^{''} - \frac{1}{x} = 0$

$y = \tan x; y^{'} + y^{2} = 1$ (3)

$\begin{aligned} y^{'} = \sec^{2} x \\ y^{'} + y^{2} = \sec^{2} x + \tan^{2} x = 1 + 2 \tan^{2} x \neq 1 \end{aligned}$

إذن، $y = \tan x$ ليس حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{'} + y^{2} = 1$

$y = e^{x} + 3 x e^{x}; y^{''} - 2 y^{'} + y = 0$ (4)

$\begin{aligned} y^{'} = e^{x} + 3 x e^{x} + 3 e^{x} = 4 e^{x} + 3 x e^{x} \\ y^{''} = 4 e^{x} + 3 x e^{x} + 3 e^{x} = 7 e^{x} + 3 x e^{x} \\ y^{''} - 2 y^{'} + y = 7 e^{x} + 3 x e^{x} - 8 e^{x} - 6 x e^{x} + e^{x} + 3 x e^{x} = 0 \end{aligned}$

إذن، $y = e^{x} + 3 x e^{x}$ هو حل للمعادلة التفاضلية $y^{''} - 2 y^{'} + y = 0$

أحل كلاً من المعادلات التفاضلية الآتية:

$\frac{d y}{d x} = 3 x \sqrt{y}$ (5)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 3 x \sqrt{y} \\ \frac{d y}{\sqrt{y}} = 3 x d x & \Rightarrow \int \frac{d y}{\sqrt{y}} = \int 3 x d x \\ \Rightarrow 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} x^{2} + C \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x}{y^{2}} = 0$ (6)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{y^{2}} \Rightarrow y^{2} d y = - 3 x d x \\ \int y^{2} d y = \int - 3 x d x \\ \Rightarrow \frac{1}{3} y^{3} = - \frac{3}{2} x^{2} + C \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = \cos x \sin y$ (7)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = c o s x s i n y d x \\ \frac{d y}{s i n y} = c o s x d x \\ \Rightarrow \int c s c y d y = \int c o s x d x \end{aligned} \begin{aligned} \int c s c y d y = \int c s c y \times \frac{c s c y + c o t y}{c s c y + c o t y} d y \\ = \int \frac{c s c^{2} y + c s c y c o t y}{c s c y + c o t y} d y \\ = - \int \frac{- (c s c^{2} y + c s c y c o t y)}{c s c y + c o t y} d y = - l n | c s c y + c o t y | \\ \Rightarrow - l n | c s c y + c o t y | = s i n x + C \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ (8)

$\begin{aligned} d y = \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x \\ \int d y = \int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x \end{aligned} \begin{aligned} u = x^{2} + 1 \Rightarrow d x = \frac{d u}{2 x} \\ \begin{aligned} \Rightarrow \int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x = \int \frac{x}{u^{2}} \frac{d u}{2 x} & = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u \\ = - \frac{1}{2 u} + C = - \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C \end{aligned} \\ \Rightarrow \int d y = \int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x \Rightarrow y = - \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = x e^{x + y}$ (9)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = x e^{x} e^{y} \Rightarrow \frac{d y}{e^{y}} = x e^{x} d x \\ \int \frac{d y}{e^{y}} = \int x e^{x} d x \\ \Rightarrow \int e^{- y} d y = \int x e^{x} d x \\ \Rightarrow - e^{- y} = \int x e^{x} d x (الأجزاء نستخدم) \end{aligned} \begin{aligned} u = x d v = e^{x} d x \\ d u = d x v = e^{x} \\ \Rightarrow \int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C \\ \Rightarrow - e^{- y} = x e^{x} - e^{x} + C \end{aligned}$

$e^{- 1 / x} \frac{d y}{d x} = x^{- 2} y^{2}$ (10)

$\begin{aligned} \frac{d y}{y^{2}} = \frac{x^{- 2}}{e^{- \frac{1}{x}}} d x = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x \\ \int y^{- 2} d y = \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x \\ \Rightarrow - y^{- 1} = \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x (التعويض نستخدم) \end{aligned} \begin{aligned} u = \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{d u}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow d x = - x^{2} d u \\ \Rightarrow \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x = \int \frac{e^{u}}{x^{2}} \times - x^{2} d u = \int - e^{u} d u = - e^{u} + C = - e^{\frac{1}{x}} + C \\ - y^{- 1} = \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x \Rightarrow \frac{1}{y} = e^{\frac{1}{x}} + C \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x - 3}$ (11)

$\begin{aligned} \frac{d y}{y} = \frac{x}{x - 3} d x \\ \int \frac{d y}{y} = \int \frac{x}{x - 3} d x \\ \int \frac{d y}{y} = \int (1 + \frac{3}{x - 3}) d x \\ \ln | y | = x + 3 \ln | x - 3 | + C \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} \sin^{2} y}{x^{3} + 2}$ (12)

$\begin{aligned} \frac{d y}{\sin^{2} y} = \frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 2)} d x \\ \int \frac{d y}{\sin^{2} y} = \int \frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 2)} d x \\ \int \csc^{2} y d y = \int \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 2} d x \\ - \cot y = \ln | x^{3} + 2 | + C \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = y^{3} \ln x$ (13)

$\begin{aligned} \frac{dy}{y^{3}} = \ln xdx \\ \int \frac{dy}{y^{3}} = \int \ln xdx (الأجزاء نستخدم) \end{aligned} \begin{aligned} u = \ln x dv = dx \\ du = \frac{dx}{x} v = x \\ \int \ln xdx = xln x - \int x \frac{dx}{x} = xln x - x + C \\ \Rightarrow \int y^{- 3} dy = \int \ln xdx \Rightarrow - \frac{1}{2} y^{- 2} = xln x - x + C \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} (y^{2} - 1)$ (14)

$\begin{aligned} \frac{d y}{y^{2} - 1} = 2 x^{3} d x \\ \int \frac{d y}{y^{2} - 1} = \int 2 x^{3} d x (الجزئية الكسور نستخدم) \end{aligned} \begin{aligned} \frac{1}{y^{2} - 1} = \frac{1}{(y - 1) (y + 1)} = \frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 1} \\ A (y + 1) + B (y - 1) = 1 \\ y = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2} \\ y = - 1 \Rightarrow B = - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{1}{y^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2}}{y - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{y + 1} \\ \Rightarrow \int \frac{d y}{y^{2} - 1} = \int 2 x^{3} d x \Rightarrow \int (\frac{\frac{1}{2}}{y - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{y + 1}) d y = \int 2 x^{3} d x \\ \Rightarrow \frac{1}{2} l n | y - 1 | - \frac{1}{2} l n | y + 1 | = \frac{1}{2} x^{4} + C \end{aligned}$

$y \frac{d y}{d x} = \sin^{3} x \cos^{2} x$ (15)

$\begin{aligned} y d y = s i n^{3} x c o s^{2} x d x \\ \int y d y = \int s i n^{3} x c o s^{2} x d x (التعويض نستخدم) \end{aligned} \begin{aligned} u = c o s x \Rightarrow d x = \frac{d u}{- s i n x} \\ \int s i n^{3} x c o s^{2} x d x = \int s i n^{3} x u^{2} \frac{d u}{- s i n x} \\ = \int - s i n^{2} x u^{2} d u = \int (- 1 + c o s^{2} x) u^{2} d u \\ = \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u = \int (u^{4} - u^{2}) d u \\ = \frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{3} u^{3} + C = \frac{1}{5} c o s^{5} x - \frac{1}{3} c o s^{3} x + C \\ \Rightarrow \int y d y = \int s i n^{3} x c o s^{2} x d x \\ \Rightarrow \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{5} c o s^{5} x - \frac{1}{3} c o s^{3} x + C \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x y}$ (16)

$\begin{aligned} \frac{d y}{\sqrt{y}} = \sqrt{x} d x \\ \int \frac{d y}{\sqrt{y}} = \int \sqrt{x} d x \\ \int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x \\ 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = y \ln \sqrt{x}$ (17)

$\begin{aligned} \frac{d y}{y} = l n x^{\frac{1}{2}} d x \\ \int \frac{d y}{y} = \int l n x^{\frac{1}{2}} d x \\ \int \frac{d y}{y} = \int \frac{1}{2} l n x d x (الأجزاء نستخدم) \end{aligned} \begin{array}{lr} u = l n x & d v = d x \\ d u = \frac{d x}{x} & v = x \end{array} \begin{aligned} \int l n x d x = x l n x - \int x \frac{d x}{x} = x l n x - x + C \\ \Rightarrow \int \frac{1}{2} l n x d x = \frac{1}{2} x l n x - \frac{1}{2} x + C \\ \int \frac{d y}{y} = \int \frac{1}{2} l n x d x \Rightarrow l n | y | = \frac{1}{2} x l n x - \frac{1}{2} x + C \end{aligned}$

$(2 x + 1) (x + 2) \frac{d y}{d x} = - 3 (y - 2)$ (18)

$\begin{aligned} (2 x + 1) (x + 2) d y = - 3 (y - 2) d x \\ \int - \frac{1}{3} \frac{d y}{y - 2} = \int \frac{d x}{(2 x + 1) (x + 2)} (الجزئية الكسور نستخدم) \end{aligned} \begin{aligned} \frac{1}{(2 x + 1) (x + 2)} = \frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 2} \\ A (x + 2) + B (2 x + 1) = 1 \\ x = - \frac{1}{2} \Rightarrow A = \frac{2}{3} \\ x = - 2 \Rightarrow B = - \frac{1}{3} \\ \Rightarrow \frac{1}{(2 x + 1) (x + 2)} = \frac{\frac{2}{3}}{2 x + 1} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 2} \\ \Rightarrow \int - \frac{1}{3} \frac{d y}{y - 2} = \int \frac{d x}{(2 x + 1) (x + 2)} \\ \Rightarrow - \frac{1}{3} l n | y - 2 | = \frac{1}{3} l n | 2 x + 1 | - \frac{1}{3} l n | x + 2 | + C \\ \Rightarrow - l n | y - 2 | = l n | 2 x + 1 | - l n | x + 2 | + C \\ \Rightarrow - l n | y - 2 | = l n | \frac{2 x + 1}{x + 2} | + C \end{aligned}$

أجد الحل الخاص الذي يحقق الشرط الأولي المعطى لكل من المعادلات التفاضلية الآتية:

$\frac{d y}{d x} = y^{2} \sqrt{4 - x}; y (1) = 2$ (19)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = y^{2} \sqrt{4 - x} \\ \frac{d y}{y^{2}} = \sqrt{4 - x} d x \\ \int \frac{d y}{y^{2}} = \int \sqrt{4 - x} d x \\ \int y^{- 2} d y = \int (4 - x)^{\frac{1}{2}} d x \\ - \frac{1}{y} = - \frac{2}{3} (4 - x)^{\frac{3}{2}} + C (العام الحل) \end{aligned}$

$\begin{aligned} - \frac{1}{2} = - 2 \sqrt{3} + C \Rightarrow C = 2 \sqrt{3} - \frac{1}{2} ((1, 2) بتعويض) \\ - \frac{1}{y} = - \frac{2}{3} (4 - x)^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{3} - \frac{1}{2} (الخاص الحل) \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sin^{2} x}{y}; y (0) = 1$ (20)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sin^{2} x}{y} \\ y d y = 2 \sin^{2} x d x \\ \int y d y = \int 2 \sin^{2} x d x \\ \int y d y = \int (1 - \cos 2 x) d x \\ \frac{1}{2} y^{2} = x - \frac{1}{2} \sin 2 x + C (العام الحل) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{1}{2} = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{2} ((0, 1) يتعويض) \\ \frac{1}{2} y^{2} = x - \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{2} (الخاص الحل) \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = 2 \cos^{2} x \cos^{2} y; y (0) = \frac{π}{4}$ (21)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 2 \cos^{2} x \cos^{2} y \\ \frac{d y}{\cos^{2} y} = 2 \cos^{2} x d x \\ \int \frac{d y}{\cos^{2} y} = \int 2 \cos^{2} x d x \\ \int \sec^{2} y d y = \int (1 + \cos 2 x) d x \\ \tan y = x + \frac{1}{2} \sin 2 x + C (العام الحل) \end{aligned}$

$\begin{aligned} 1 = 0 + 0 + C ((0, \frac{π}{4}) بتعويض) \\ C = 1 \\ \tan y = x + \frac{1}{2} \sin 2 x + 1 (الخاص الحل) \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos x e^{\sin x}}{e^{y}}; y (π) = 0$ (22)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{c o s x e^{s i n x}}{e^{y}} \\ \int e^{y} d y = \int c o s x e^{s i n x} d x (التعويض نستخدم) \end{aligned} \begin{aligned} u = s i n x \Rightarrow \frac{d u}{d x} = c o s x \Rightarrow d x = \frac{d u}{c o s x} \\ \begin{aligned} \int c o s x e^{s i n x} d x = \int c o s x e^{u} \times \frac{d u}{c o s x} = \int e^{u} d u = e^{u} + C \\ = e^{s i n x} + C \end{aligned} \\ \Rightarrow \int e^{y} d y = \int c o s x e^{s i n x} d x \\ e^{y} = e^{s i n x} + C (العام الحل) \end{aligned} \begin{aligned} e^{0} = e^{0} + C ((π, 0) بتعويض) \\ \Rightarrow C = 0 \\ e^{y} = e^{s i n x} (الخاص الحل) \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x - 18}{(3 x - 8) (x - 2)}; y (3) = 8$ (23)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{8 x - 18}{(3 x - 8) (x - 2)} \\ \int d y = \int \frac{8 x - 18}{(3 x - 8) (x - 2)} d x (الجزئية الكسور نستخدم) \end{aligned} \begin{aligned} \frac{8 x - 18}{(3 x - 8) (x - 2)} = \frac{A}{3 x - 8} + \frac{B}{x - 2} \\ A (x - 2) + B (3 x - 8) = 8 x - 18 \\ x = 2 \Rightarrow B = 1 \\ x = \frac{8}{3} \Rightarrow A = 5 \\ \Rightarrow \frac{8 x - 18}{(3 x - 8) (x - 2)} = \frac{5}{3 x - 8} + \frac{1}{x - 2} \\ \Rightarrow \int d y = \int \frac{8 x - 18}{(3 x - 8) (x - 2)} d x \Rightarrow y = \int (\frac{5}{3 x - 8} + \frac{1}{x - 2}) d x \\ \Rightarrow y = \frac{5}{3} l n | 3 x - 8 | + l n | x - 2 | + C (العام الحل) \end{aligned} \begin{aligned} 8 = 0 + 0 + C \Rightarrow C = 8 ((3, 8) بتعويض) \\ y = \frac{5}{3} l n | 3 x - 8 | + l n | x - 2 | + 8 (الخاص الحل) \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y}; y (e) = 1$ (24)

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} \\ \int y d y = \int \frac{d x}{x} \\ \frac{1}{2} y^{2} = l n | x | + C (العام الحل) \end{aligned} \begin{aligned} \frac{1}{2} = 1 + C ((e, 1) بتعويض) \\ \Rightarrow C = - \frac{1}{2} \end{aligned} \frac{1}{z} y^{z} = l n | x | - \frac{1}{2} (الخاص الحل)$

(25) تتحرك سيارة في مسار مستقيم، ويعطى تسارعها بالمعادلة التفاضلية: $\frac{d v}{d t} = 10 - 0.5 v$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $v$ سـرعتها المتجهة بالمتر لكل ثانية، أجد السرعة المتجهة للسيارة بعد $t$ ثانية من بدء حركتها، علماً بأن السيارة تحركت من وضع السكون.

$\begin{aligned} \frac{d v}{d t} = 10 - 0.5 v \\ \frac{d v}{10 - 0.5 v} = d t \\ \int \frac{d v}{10 - 0.5 v} = \int d t \\ - 2 l n | 10 - 0.5 v | = t + C \Rightarrow l n | 10 - 0.5 v | = - \frac{t}{2} + C (العام الحل) \end{aligned} \begin{aligned} l n 10 = 0 + C \Rightarrow C = l n 10 (t = 0, v = 0 بتعويض) \\ \Rightarrow l n | 10 - 0.5 v | = - \frac{t}{2} + l n 10 \Rightarrow l n | \frac{10 - 0.5 v}{10} | = - \frac{t}{2} (الخاص الحل) \end{aligned}$

إذن، يمكن نمذجة السرعة المتجهة للسيارة بعد t ثانية من بددء حركتها بالعلاقة الآتية:

$\ln | \frac{10 - 0.5 v}{10} | = - \frac{t}{2}$

(26) ذئاب: يمكن نمذجة معدل تغير عدد الذئاب في إحدى الغابات بالمعادلة التفاضلية: $\frac{d N}{d t} = 260 - 0.4 N$ ، حيث $N$ عدد الذئاب في الغابة بعد $t$ سنة من بدء دراسة عليها. أجد عدد الذئاب في الغابة بعد 3 سنوات من بدء الدراسة، علماً بأن عددها عند بده الدراسة هو 300 ذئب.

$\begin{aligned} \frac{d N}{d t} = 260 - 0.4 N = 0.4 (650 - N) \\ \frac{d N}{650 - N} = 0.4 d t \\ \int \frac{d N}{650 - N} = \int 0.4 d t \\ - I n | 650 - N | = 0.4 t + C (العام الحل) \end{aligned} \begin{aligned} - l n 350 = 0 + C \Rightarrow C = - l n 350 (t = 0, N = 300 نعوض) \\ \Rightarrow - l n | 650 - N | = 0.4 t - l n 350 \\ \Rightarrow l n | \frac{350}{650 - N} | = 0.4 t (الخاص الحل) \end{aligned}$

لا يمكن أن يكون 650=N لأن 0 In غير معرف ولأن 300=N عندما 0=t والاقتران (N t متصل فلا يمكن أن يكون N أكبر من 650، ولذا فإن N>0 ويكون $| 650 - N |$ مسار لـ $650 - N$

$\Rightarrow \ln | \frac{350}{650 - N} | = \ln (\frac{350}{650 - N}) = 0.4 t (N نجد t = 3 نعوض) \begin{aligned} \ln (\frac{350}{650 - N}) = 1.2 \\ \Rightarrow \frac{350}{650 - N} = e^{\frac{6}{5}} \Rightarrow \frac{650 - N}{350} = e^{- \frac{6}{5}} \\ N = 650 - 350 e^{- \frac{6}{5}} \approx 545 \end{aligned}$

إذن، بعد ثلاث سنوات يكون عدد الذئاب في تلك الغابة 545 ذئباً نقريباً.

كرة: تنكم ش كرة، ويتغيّر نصف قطرها بمعدل يمكن نمذجتـه بالمعادلة التفاضلية: $\frac{d r}{d t} = - 0.0075 r^{2}$ ، حيث $r$ طول نصف قطر الكرة بالسنتيمتر، و $t$ الزمن بالثواني بعد بدء انكماش الكرة:

(27) أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد طول نصف قطر الكرة بعد $t$ ثانية، علماً بأن طول نصف الكرة الابتدائي هو $20 c m$ .

$\begin{aligned} \frac{d r}{d t} = - 0.0075 r^{2} \\ \int - \frac{d r}{r^{2}} = \int 0.0075 d t \\ \frac{1}{r} = 0.0075 t + C (العام الحل) \end{aligned} \begin{aligned} \frac{1}{20} = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{20} (t = 0, r = 20 نعوض) \\ \frac{1}{r} = 0.0075 t + \frac{1}{20} \Rightarrow r = \frac{20}{1 + 0.15 t} (الخاص الحل) \end{aligned}$

(28) بعد كم ثانية يصبح طول نصف قطر الكرة $10 c m$ ؟

نضع r=10 في المعادلة الناتجة:

$\begin{aligned} 10 = \frac{20}{1 + 0.15 t} \Rightarrow 0.1 = \frac{1 + 0.15 t}{20} & \Rightarrow 2 = 1 + 0.15 t \\ \Rightarrow t = \frac{1}{0.15} \approx 6.67 s \end{aligned}$

إذن، يكون طول نصف قطر الكرة 10cm بعد 6.67 ثانية تقريباً بعد بدء انكماشها.

حشرات: يتغير عدد الحشرات في مجتمع للحشرات بمعدل يمكن نمذجته بالمعادلة التفاضلية: $\frac{d n}{d t} = 0.2 n (0.2 - c o s t)$ ، حيث $n$ عدد الحشرات، و $t$ الزمن بالأسابيع بعد بدء ملاحظة الحشرات:

(29) أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد عدد الحشرات في هذا المجتمع بعد $t$ أسبوعاً، علماً بأن عددها الابتدائي هو 400 حشرة.

$\begin{aligned} \int \frac{d n}{n} = \int 0.2 (0.2 - c o s t) d t \\ l n n = 0.2 (0.2 t - s i n t) + C (العام الحل) \end{aligned} \begin{aligned} l n 400 = 0 + C \Rightarrow C = l n 400 (t = 0, n = 400 نعوض) \\ l n n = 0.2 (0.2 t - s i n t) + l n 400 \\ \Rightarrow l n \frac{n}{400} = 0.2 (0.2 t - s i n t) \Rightarrow n = 400 e^{0.2 (0.2 t - s i n t)} (الخاص الحل) \end{aligned}$

(30) أجد عدد الحشرات في هذا المجتمع بعد 3 أسابيع.

نعوض t=3 في المعادلة الأخيرة:

$\begin{aligned} n = 400 e^{0.2 (0.2 t - s i n t)} \\ = 400 e^{0.2 (0.6 - s i n 3)} \\ \approx 400 e^{0.12 - 0.028} \approx 400 e^{0.092} \approx 439 \end{aligned}$

إذن، بعد 3 أسابيع يكون عدد الحشرات 439 حشرة تقريباً.

(31) تمثل المعادلة التفاضلية: $\frac{d y}{d x} = y \cos x$ ميل المماس لمنحنى علاقة ما، أجد قاعدة هذه العلاقة إذا علمت أن منحناها يمر بالنقطة (0,1).

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = y c o s x \\ \int \frac{d y}{y} = \int c o s x d x \\ \Rightarrow l n | y | = s i n x + C (العام الحل) \end{aligned} \begin{aligned} 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0 (y = 1, x = 0 نعوض) \\ \Rightarrow l n | y | = s i n x \\ \Rightarrow y = e^{s i n x} \end{aligned}$

ملاحظة: منحنى الاقتران $y = - e^{s i n x}$ لايمر بالنقطة (0,1).

(32) تمثل المعادلة التفاضلية: $x (x + 1) \frac{d y}{d x} = y$ ميل المماس لمنحنى علاقة ما، أجد قاعدة هذه العلاقة إذا علمت أن منحناها يمر بالنقطة (1,3).

$\int \frac{d y}{y} = \int \frac{d x}{x (x + 1)} (الجزئية الكسور نستخدم) \begin{aligned} \frac{1}{x (x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} \\ A (x + 1) + B (x) = 1 \\ x = 0 \Rightarrow A = 1 \\ x = - 1 \Rightarrow B = - 1 \\ \Rightarrow \frac{1}{x (x + 1)} = \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1} \\ \Rightarrow \int \frac{d y}{y} = \int \frac{d x}{x (x + 1)} \Rightarrow \ln | y | = \int (\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}) d x \\ \Rightarrow \ln | y | = \ln | x | - \ln | x + 1 | + C (العام الحل) \end{aligned} \begin{aligned} \ln 3 = 0 - \ln 2 + C \Rightarrow C = \ln 3 + \ln 2 = \ln 6 (y = 3, x = 1 نعوض) \\ \Rightarrow \ln | y | = \ln | x | - \ln | x + 1 | + \ln 6 \\ \Rightarrow \ln | y | = \ln | \frac{6 x}{x + 1} | \\ \Rightarrow | y | = | \frac{6 x}{x + 1} | \Rightarrow y = \frac{6 x}{x + 1} \end{aligned}$

ملاحظة: منحنى الاقتران $y = - \frac{6 x}{x + 1}$ لا يمر بالنقطة (1,3)