أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

تكامل اقترانات خاصة

تكامل الاقترانات الأسيّة

أتحقق من فهمي صفحة 10

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(a) $\int (5 x^{2} - 3 e^{7 x}) d x$

$\int (5 x^{2} - 3 e^{7 x}) d x = \frac{5}{3} x^{3} - \frac{3}{7} e^{7 x} + C$

(b) $\int_{0}^{\ln 3} 8 e^{4 x} d x$

$\begin{aligned} \int_{0}^{\ln 3} 8 e^{4 x} d x = {\frac{8}{4} e^{4 x} |}_{0}^{\ln 3} = 2 (e^{4 \ln 3} - e^{0}) & = 2 (e^{\ln 3^{4}} - e^{0}) \\ = 2 (81 - 1) = 160 \end{aligned}$

(c) $\int \sqrt{e^{1 - x}} d x$

$\int \sqrt{e^{1 - x}} d x = \int {(e^{1 - x})}^{1 / 2} d x = \int e^{(1 - x) / 2} d x = - 2 e^{(1 - x) / 2} + C$

(d) $\int (3^{x} + 2 \sqrt{x}) d x$

$\int (3^{x} + 2 \sqrt{x}) d x = \frac{3^{x}}{\ln 3} + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C = \frac{3^{x}}{\ln 3} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

تكامل الاقترانات المثلثية

أتحقق من فهمي صفحة 12

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(a) $\int \cos (3 x - π) d x$

$\int c o s (3 x - π) d x = \frac{1}{3} s i n (3 x - π) + C$

(b) $\int (\csc^{2} (5 x) + e^{2 x}) d x$

$\int (c s c^{2} (5 x) + e^{2 x}) d x = - \frac{1}{5} c o t 5 x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

(c) $\int_{0}^{π / 3} (\sin 2 x - \cos 4 x) d x$

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (\sin 2 x - \cos 4 x) d x = {(- \frac{1}{2} \cos 2 x - \frac{1}{4} \sin 4 x) |}_{0}^{\frac{π}{3}} \\ = (- \frac{1}{2} \cos \frac{2 π}{3} - \frac{1}{4} \sin \frac{4 π}{3}) - (- \frac{1}{2} \cos 0 - \frac{1}{4} \sin 0) \\ = (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{4} (\frac{- \sqrt{3}}{2})) - (- \frac{1}{2} - 0) \\ = \frac{6 + \sqrt{3}}{8} \end{aligned}$

المتطابقات المثلثية والتكامل

أتحقق من فهمي صفحة 14

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(a) $\int \cos^{4} x d x$

$\begin{aligned} \int c o s^{4} x d x \\ c o s^{4} x = {(c o s^{2} x)}^{2} = {(\frac{1 + c o s 2 x}{2})}^{2} \\ = \frac{1}{4} (1 + 2 c o s 2 x + c o s^{2} 2 x) \\ = \frac{1}{4} (1 + 2 c o s 2 x + \frac{1 + c o s 4 x}{2}) \\ = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} c o s 2 x + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} c o s 4 x \\ = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} c o s 2 x + \frac{1}{8} c o s 4 x \\ \int c o s^{4} x d x = \int (\frac{3}{8} + \frac{1}{2} c o s 2 x + \frac{1}{8} c o s 4 x) d x \\ = \frac{3}{8} x + \frac{1}{4} s i n 2 x + \frac{1}{32} s i n 4 x + C \end{aligned}$

(b) $\int_{0}^{π / 6} \sin 3 x \sin x d x$

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin 3 x \sin x d x & = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{2} (\cos (3 x - x) - \cos (3 x + x)) d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} (\cos 2 x - \cos 4 x) d x \\ = {(\frac{1}{4} \sin 2 x - \frac{1}{8} \sin 4 x) |}_{0}^{\frac{π}{6}} \\ = (\frac{1}{4} \sin \frac{2 π}{6} - \frac{1}{8} \sin \frac{4 π}{6}) - (0 - 0) = \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{3}}{16} \end{aligned}$

(c) $\int \frac{d x}{1 + \cos x}$

$\begin{aligned} \int \frac{d x}{1 + c o s x} & = \int (\frac{1}{1 + c o s x} \times \frac{1 - c o s x}{1 - c o s x}) d x \\ = \int \frac{1 - c o s x}{s i n^{2} x} d x \\ = \int (c s c^{2} x - c o t x c s c x) d x \\ = - c o t x + c s c x + C \end{aligned}$

تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي

أتحقق من فهمي صفحة 16

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(a) $\int (\sin x - \frac{5}{x}) d x$

$\int (s i n x - \frac{5}{x}) d x = - c o s x - 5 l n | x | + C$

(b) $\int \frac{5}{3 x + 2} d x$

$\int \frac{5}{3 x + 2} d x = \frac{5}{3} \int \frac{3}{3 x + 2} d x = \frac{5}{3} l n | 3 x + 2 | + C$

(c) $\int \frac{x^{2} - 7 x + 2}{x^{2}} d x$

$\int \frac{x^{2} - 7 x + 2}{x^{2}} d x = \int (1 - \frac{7}{x} + 2 x^{- 2}) d x = x - 7 l n | x | - 2 x^{- 1} + C$

(d) $\int \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x} d x$

$\int \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x} d x = l n | x^{2} + 3 x | + C$

(e) $\int \frac{\sin 2 x}{1 + \cos 2 x} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{s i n 2 x}{1 + c o s 2 x} d x & = - \frac{1}{2} \int \frac{- 2 s i n 2 x}{1 + c o s 2 x} d x \\ = - \frac{1}{2} l n | 1 + c o s 2 x | + C \\ = - \frac{1}{2} l n (1 + c o s 2 x) + C \end{aligned}$

(f) $\int \cot x d x$

$\int c o t x d x = \int \frac{c o s x}{s i n x} d x = l n | s i n x | + C$

(g) $\int \frac{e^{x}}{e^{x} + 7} d x$

$\int \frac{e^{x}}{e^{x} + 7} d x = l n | e^{x} + 7 | + C = l n (e^{x} + 7) + C$

(h) $\int \csc x d x$

أتحقق من فهمي صفحة 17

أجد: $\int \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} d x$

$\int \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} d x = \int (x + \frac{1}{x + 1}) d x = \frac{1}{2} x^{2} + l n | x + 1 | + C$

تكاملات الاقترانات المتشعبة

أتحقق من فهمي صفحة 19

(a) إذا كان: $f (x) = {\begin{cases} 1 + x & , x < 1 \\ 2 x & , x \geq 1 \end{cases}$ ، فأجد قيمة: $\int_{- 1}^{3} f (x) d x$ .

$\begin{aligned} \int_{- 1}^{3} f (x) d x & = \int_{- 1}^{1} (1 + x) d x + \int_{1}^{3} 2 x d x \\ = {(x + \frac{1}{2} x^{2}) |}_{- 1}^{1} + {x^{2} |}_{1}^{3} \\ = (1 + \frac{1}{2}) - (- 1 + \frac{1}{2}) + 9 - 1 = 10 \end{aligned}$

(b) إذا كان: $f (x) = | 1 - x |$ ، فأجد قيمة: $\int_{- 2}^{2} f (x) d x$ .

$\begin{aligned} f (x) = {\begin{cases} 1 - x, & x \leq 1 \\ x - 1, & x > 1 \end{cases} \\ \begin{aligned} \int_{- 2}^{2} f (x) d x & = \int_{- 2}^{1} (1 - x) d x + \int_{1}^{2} (x - 1) d x \\ = {(x - \frac{1}{2} x^{2}) |}_{- 2}^{1} + {(\frac{1}{2} x^{2} - x) |}_{1}^{2} \\ = (1 - \frac{1}{2}) - (- 2 - 2) + (2 - 2) - (\frac{1}{2} - 1) = 5 \end{aligned} \end{aligned}$

(c) إذا كان: $f (x) = | x^{2} - 1 |$ ، فأجد قيمة: $\int_{- 4}^{0} f (x) d x$ .

$\begin{aligned} f (x) = {\begin{array}{c} x^{2} - 1, x < - 1 \\ 1 - x^{2}, - 1 \leq x \leq 1 \\ x^{2} - 1, x > 1 \end{array} \\ \int_{- 4}^{0} f (x) d x = \int_{- 4}^{- 1} (x^{2} - 1) d x + \int_{- 1}^{0} (1 - x^{2}) d x \\ = {(\frac{1}{3} x^{3} - x) |}_{- 4}^{- 1} + {(x - \frac{1}{3} x^{3}) |}_{- 1}^{0} \\ = (- \frac{1}{3} + 1) - (- \frac{64}{3} + 4) + (0 - 0) - (- 1 + \frac{1}{3}) \\ = \frac{56}{3} \end{aligned}$

تطبيقات التكامل: الشرط الأولي

أتحقق من فهمي صفحة 20

تلوث: تسرب نفط من ناقلة بحرية، مكوناً بقعة دائرية الشكل على سطح الماء، نصف قطرها R(t) قدماً بعد t دقيقة من بدء التسرب. إذا كان نصف قطر الدائرة يزداد بمعدل: $R^{'} (t) = \frac{21}{0.07 t + 5}$ ، فأجد R(t) ، علماً بأن R(0) = 0 .

$\begin{aligned} R (t) & = \int \frac{21}{0 .07 t + 5} d t \\ = \frac{21}{0 .07} \int \frac{0 .07}{0 .07 t + 5} d t = 300 l n | 0 .07 t + 5 | + C \\ R (0) & = 300 l n 5 + C \\ 0 & = 300 l n 5 + C \Rightarrow C = - 300 l n 5 \\ R (t) & = 300 l n | 0 .07 t + 5 | - 300 l n 5 = 300 l n | \frac{0 .07 t + 5}{5} | \\ = 300 l n | 0 .014 t + 1 | \end{aligned}$

تطبيقات التكامل: الحركة في مسار مستقيم

أتحقق من فهمي صفحة 23

يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: v(t) = 3 cos t ، حيث t الزمن بالثواني، و v سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية:

(a) إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقع الجُسيم بعد $\frac{π}{6}$ ثانية من بدء الحركة.

$\begin{aligned} s (t) = \int v (t) d t = \int 3 c o s t d t = 3 s i n t + C \\ s (0) = 3 s i n 0 + C \\ 0 = 3 s i n 0 + C \Rightarrow C = 0 \\ s (t) = 3 s i n t \\ s (\frac{π}{6}) = 3 s i n (\frac{π}{6}) = 1 .5 m \end{aligned}$

(b) أجد إزاحة الجسيم في الفترة [0, 2π] .

$s (2 π) - s (0) = 3 s i n (2 π) - 3 s i n (0) = 0 m$

(c) أجد المسافة الكلية التي قطعها الجسيم في الفترة [0, 2π] .

$\begin{aligned} | v (t) | = | 3 c o s t | = {\begin{array}{c} 3 c o s t, 0 \leq t < \frac{π}{2} \\ - 3 c o s t, \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{3 π}{2} \\ 3 c o s t, \frac{3 π}{2} < t \leq 2 π \end{array} \\ \int_{0}^{2 π} | v (t) | d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 c o s t d x + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - 3 c o s t d x + \int_{\frac{3 π}{2}}^{2 π} 3 c o s t d x \\ = {3 s i n t |}_{0}^{\frac{π}{2}} - {3 s i n t |}_{\frac{π π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + {3 s i n t |}_{\frac{3 π}{2}}^{2 π} \\ = (3 - 0) - (- 3 - 3) + (0 - (- 3)) = 12 m \end{aligned}$