أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

التكامل بالتعويض

التكاملات بالتعويض للتكاملات غير المحدودة

أتحقق من فهمي من فهمي صفحة (32):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int 4 x^{2} \sqrt{x^{3} - 5} d x$ (a)

$\begin{aligned} u = x^{3} - 5 \Rightarrow \frac{d u}{d x} & = 3 x^{2} \Rightarrow d x = \frac{d u}{3 x^{2}} \\ \int 4 x^{2} \sqrt{x^{3} - 5} d x = & \int 4 x^{2} \sqrt{u} \times \frac{d u}{3 x^{2}} \\ = \int \frac{4}{3} u^{\frac{1}{2}} d u \\ = \frac{8}{9} u^{\frac{3}{2}} + C \\ = \frac{8}{9} \sqrt{{(x^{3} - 5)}^{3}} + C \end{aligned}$

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\sqrt{x}} d x$ (b)

$\begin{aligned} u = \sqrt{x} \Rightarrow \frac{d u}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \Rightarrow d x = 2 \sqrt{x} d u \\ \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\sqrt{x}} d x = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{u} \times 2 \sqrt{x} d u \\ = \int e^{u} d u \\ = e^{u} + C \\ = e^{\sqrt{x}} + C \end{aligned}$

$\int \frac{(\ln x)^{3}}{x} d x$ (c)

$\begin{aligned} u = \ln x \Rightarrow \frac{d u}{d x} = \frac{1}{x} \Rightarrow d x = x d u \\ \begin{aligned} \int \frac{(\ln x)^{3}}{x} d x = \int & \frac{u^{3}}{x} \times x d u \\ = \int u^{3} d u \\ = \frac{1}{4} u^{4} + C \\ = \frac{1}{4} (\ln x)^{4} + C \end{aligned} \end{aligned}$

$\int \frac{\cos (\ln x)}{x} d x$ (d)

$\begin{aligned} u = \ln x \Rightarrow \frac{d u}{d x} & = \frac{1}{x} \Rightarrow d x = x d u \\ \int \frac{\cos (\ln x)}{x} d x & = \int \frac{\cos u}{x} \times x d u \\ = \int \cos u d u \\ = \sin u + C \\ = \sin (\ln x) + C \end{aligned}$

$\int \cos^{4} 5 x \sin 5 x d x$ (e)

$\begin{aligned} u = \cos 5 x \Rightarrow \frac{d u}{d x} & = - 5 \sin 5 x \Rightarrow d x = \frac{d u}{- 5 \sin 5 x} \\ \int \cos^{4} 5 x \sin 5 x d x & = \int u^{4} \sin 5 x \times \frac{d u}{- 5 \sin 5 x} \\ = \int - \frac{1}{5} u^{4} d u \\ = - \frac{1}{25} u^{5} + C \\ = - \frac{1}{25} \cos^{5} 5 x + C \end{aligned}$

$\int x 2^{x^{2}} d x$ (f)

$\begin{aligned} u = x^{2} \Rightarrow \frac{d u}{d x} = 2 x & \Rightarrow d x = \frac{d u}{2 x} \\ \int x 2^{x^{2}} d x = \int x 2^{u} & \times \frac{d u}{2 x} \\ = \int \frac{1}{2} 2^{u} d u \\ = \frac{1}{2} \frac{2^{u}}{\ln 2} + C \\ = \frac{1}{\ln 2} 2^{x^{2} - 1} + C \end{aligned}$

أتحقق من فهمي من فهمي صفحة (34):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int \frac{x}{\sqrt{1 + 2 x}} d x$ (a)

$\begin{aligned} u = 1 + 2 x \Rightarrow \frac{d u}{d x} = 2 \Rightarrow d x = \frac{d u}{2}, x = \frac{u - 1}{2} \\ \int \frac{x}{\sqrt{1 + 2 x}} d x = \int \frac{\frac{1}{2} (u - 1)}{u^{\frac{1}{2}}} \times \frac{d u}{2} \\ = \frac{1}{4} \int (u^{\frac{1}{2}} - u^{- \frac{1}{2}}) d u \\ = \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C \\ = \frac{1}{6} (1 + 2 x)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} (1 + 2 x)^{\frac{1}{2}} + C \\ = \frac{1}{6} \sqrt{(1 + 2 x)^{3}} - \frac{1}{2} \sqrt{1 + 2 x} + C \end{aligned}$

$\int x^{7} {(x^{4} - 8)}^{3} d x$ (b)

$\begin{aligned} u = x^{4} - 8 \Rightarrow \frac{d u}{d x} & = 4 x^{3} \Rightarrow d x = \frac{d u}{4 x^{3}}, x^{4} = u + 8 \\ \int x^{7} {(x^{4} - 8)}^{3} d x & = \int x^{7} u^{3} \times \frac{d u}{4 x^{3}} \\ = \frac{1}{4} \int x^{4} u^{3} d u \\ = \frac{1}{4} \int (u + 8) u^{3} d u \\ = \frac{1}{4} \int (u^{4} + 8 u^{3}) d u \\ = \frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + 2 u^{4}) + C \\ = \frac{1}{20} {(x^{4} - 8)}^{5} + \frac{1}{2} {(x^{4} - 8)}^{4} + C \end{aligned}$

$\int \frac{e^{3 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}} d x$ (c)

$\begin{aligned} u = 1 - e^{x} \Rightarrow \frac{d u}{d x} = - e^{x} \Rightarrow d x = \frac{d u}{- e^{x}}, e^{x} = 1 - u \\ \int \frac{e^{3 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}} d x = \int \frac{e^{3 x}}{u^{2}} \times \frac{d u}{- e^{x}} \\ = \int - \frac{e^{2 x}}{u^{2}} d u \\ = \int \frac{- (1 - u)^{2}}{u^{2}} d u \\ = \int \frac{- 1 + 2 u - u^{2}}{u^{2}} d u \\ = \int (- u^{- 2} + \frac{2}{u} - 1) d u \\ = (u^{- 1} + 2 \ln | u | - u) + C \\ = \frac{1}{1 - e^{x}} + 2 \ln | 1 - e^{x} | - 1 + e^{x} + C \end{aligned}$

التكاملات بالتعويض للتكاملات تحوي المقدار $\sqrt[n]{a x + b}$

أتحقق من فهمي من فهمي صفحة (35):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int \frac{d x}{x + \sqrt[3]{x}}$ (a)

$\begin{aligned} u = \sqrt[3]{x} & \Rightarrow \frac{d u}{d x} = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \Rightarrow d x = 3 x^{\frac{2}{3}} d u, x = u^{3} \\ \int \frac{d x}{x + \sqrt[3]{x}} & = \int \frac{3 x^{\frac{2}{3}} d u}{u^{3} + u} \\ = \int \frac{3 u^{2}}{u^{3} + u} d u \\ = \int \frac{3 u}{u^{2} + 1} d u \\ = \frac{3}{2} \int \frac{2 u}{u^{2} + 1} d u \\ = \frac{3}{2} \ln (u^{2} + 1) + C \\ = \frac{3}{2} \ln (x^{\frac{2}{3}} + 1) + C \end{aligned}$

$\int x \sqrt[3]{(1 - x)^{2}} d x$ (b)

$\begin{aligned} u = 1 - x \Rightarrow \frac{d u}{d x} & = - 1 \Rightarrow d x = - d u, x = 1 - u \\ \int x \sqrt[3]{(1 - x)^{2}} d x & = \int x \sqrt[3]{u^{2}} \times - d u \\ = \int - (1 - u)^{\sqrt[3]{u u^{2}}} d u \\ = \int - (1 - u) u^{\frac{2}{3}} d u \\ = \int (- u^{\frac{2}{3}} + u^{\frac{5}{3}}) d u \\ = - \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}} + C \\ = - \frac{3}{5} (1 - x)^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{8} (1 - x)^{\frac{8}{3}} + C \\ = - \frac{3}{5} \sqrt[3]{(1 - x)^{5}} + \frac{3}{8} \sqrt[3]{(1 - x)^{8}} + C \end{aligned}$

أتحقق من فهمي من فهمي صفحة (37):

أسعار: يمثل الاقتران $p (x)$ سعر قطعة (بالدينار) تستعمل في أجهزة الحاسوب، حيث $x$ عدد القطع المبيعة منها بالمئات. إذا كان: $p^{'} (x) = \frac{- 135 x}{\sqrt{9 + x^{2}}}$ هو معدل تغير سعر هذه القطعة، فأجد $p (x)$ ، علماً بأن سعر القطعة الواحدة هـو $30 JD$ عندما يكون عدد القطع المبيعة منها 400 قطعة.

$\begin{aligned} p (x) = \int \frac{- 135 x}{\sqrt{9 + x^{2}}} d x \\ u = 9 + x^{2} \Rightarrow \frac{d u}{d x} = 2 x \Rightarrow d x = \frac{d u}{2 x} \\ p (x) = \int \frac{- 135 x}{\sqrt{u}} \times \frac{d u}{2 x} \\ = \frac{- 135}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u \\ = - 135 u^{\frac{1}{2}} + C \\ p (x) = - 135 \sqrt{9 + x^{2}} + C \\ p (4) = - 135 \sqrt{9 + 16} + C = - 135 (5) + C \\ 30 = - 675 + C \Rightarrow C = 705 \\ p (x) = 705 - 135 \sqrt{9 + x^{2}} \end{aligned}$

التكامل بالتعويض لاقترانات تتضمن اقتراني الجيب وجيب التمام المرفوعين إلى أس فردي

أتحقق من فهمي من فهمي صفحة (39):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int \sin^{3} x d x$ (a)

$\begin{aligned} \int \sin^{3} x d x & = \int \sin x \sin^{2} x d x = \int \sin x (1 - \cos^{2} x) d x \\ u = \cos x & \Rightarrow \frac{d u}{d x} = - \sin x \Rightarrow d x = \frac{d u}{- \sin x} \\ \int \sin^{3} x d x & = \int \sin x (1 - u^{2}) \frac{d u}{- \sin x} \\ = \int (u^{2} - 1) d u \\ = \frac{1}{3} u^{3} - u + C \\ = \frac{1}{3} \cos^{3} x - \cos x + C \end{aligned}$

$\int \cos^{5} x \sin^{2} x d x$ (b)

$\begin{aligned} u = \sin x \Rightarrow \frac{d u}{d x} & = \cos x \Rightarrow d x = \frac{d u}{\cos x} \\ \int \cos^{5} x \sin^{2} x d x & = \int \cos^{5} x u^{2} \frac{d u}{\cos x} \\ = \int \cos^{4} x u^{2} d u \\ = \int {(1 - \sin^{2} x)}^{2} u^{2} d u \\ = \int {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u \\ = \int (u^{2} - 2 u^{4} + u^{6}) d u \\ = \frac{1}{3} u^{3} - \frac{2}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7} + C \\ = \frac{1}{3} \sin^{3} x - \frac{2}{5} \sin^{5} x + \frac{1}{7} \sin^{7} x + C \end{aligned}$

التكامل بالتعويض لاقترانات تتضمن الظل أو ظل التمام، أو القاطع، أو قاطع التمام

أتحقق من فهمي من فهمي صفحة (41):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int \tan^{4} x d x$ (a)

$\begin{aligned} \int \tan^{4} x d x & = \int \tan^{2} x \tan^{2} x d x \\ = \int \tan^{2} x (\sec^{2} x - 1) d x \\ = \int \tan^{2} x \sec^{2} x - \tan^{2} x d x \\ = \int \tan^{2} x \sec^{2} x d x - \int \tan^{2} x d x \\ = \int \tan^{2} x \sec^{2} x d x - \int (\sec^{2} x - 1) d x \\ u = \tan x & \Rightarrow \frac{d u}{d x} = \sec^{2} x \Rightarrow d x = \frac{d u}{\sec^{2} x} \\ \Rightarrow \tan x & d x = \int u^{2} \sec^{2} x \times \frac{d u}{\sec^{2} x} - \int (\sec^{2} x - 1) d x \\ = \int u^{2} d u - \int (\sec^{2} x - 1) d x \\ = \frac{1}{3} u^{3} - \tan x + x + C \\ = \frac{1}{3} \tan^{3} x - \tan x + x + C \end{aligned}$

$\int \cot^{5} x d x$ (b)

$\begin{aligned} \begin{aligned} \int \cot^{5} x d x & = \int \cot x \cot^{4} x d x \\ = \int \cot x {(\cot^{2} x)}^{2} d x \\ = \int \cot x {(\csc^{2} x - 1)}^{2} d x \\ u = \csc x \Rightarrow & \frac{d u}{d x} = - \csc x \cot x \Rightarrow d x = \frac{d u}{- \csc x \cot x} \\ \Rightarrow \int \cot^{5} x d x & = \int \cot x {(u^{2} - 1)}^{2} \times \frac{d u}{- \csc x \cot x} \\ = \int {(u^{2} - 1)}^{2} \frac{d u}{- u} \\ = \int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{- u} d u \\ = \int (- u^{3} + 2 u - \frac{1}{u}) d u \\ = - \frac{1}{4} u^{4} + u^{2} - \ln | u | + C \\ = - \frac{1}{4} \csc^{4} x + \csc^{2} x - \ln | \csc x | + C \end{aligned} \end{aligned}$

$\int \sec^{4} x \tan^{6} x d x$ (c)

$\begin{aligned} u = \tan x \Rightarrow \frac{d u}{d x} & = \sec^{2} x \Rightarrow d x = \frac{d u}{\sec^{2} x} \\ \int \sec^{4} x \tan^{6} x d x & = \int \sec^{4} x u^{6} \times \frac{d u}{\sec^{2} x} \\ = \int \sec^{2} x u^{6} d u \\ = \int (1 + \tan^{2} x) u^{6} d u \\ = \int (1 + u^{2}) u^{6} d u \\ = \int (u^{6} + u^{8}) d u \\ = \frac{1}{7} u^{7} + \frac{1}{9} u^{9} + C \\ = \frac{1}{7} \tan^{7} x + \frac{1}{9} \tan^{9} x + C \end{aligned}$

التكامل بالتعويض للتكاملات المحدودة

أتحقق من فهمي من فهمي صفحة (43):

أجد قيمة كل من التكاملين الآتيين:

$\int_{0}^{2} x (x + 1)^{3} d x$ (a)

$\begin{aligned} u = x + 1 \Rightarrow \frac{u}{d x} = 1 \Rightarrow d x = d u, x = u - 1 \\ x = 0 \Rightarrow u = 1 \\ x = 2 \Rightarrow u = 3 \\ \int_{0}^{2} x (x + 1)^{3} d x = \int_{1}^{3} (u - 1) u^{3} d u \\ = \int_{1}^{3} (u^{4} - u^{3}) d u \\ = {(\frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{4} u^{4}) |}_{1}^{3} \\ = \frac{1}{5} (3)^{5} - \frac{1}{4} (3)^{4} - (\frac{1}{5} (1)^{5} - \frac{1}{4} (1)^{4}) \\ = \frac{142}{5} = 28.4 \end{aligned}$

$\int_{0}^{π / 3} \sec x \tan x \sqrt{\sec x + 2} d x$ (b)

$\begin{aligned} u = \sec x + 2 \Rightarrow \frac{d u}{d x} = \sec x \tan x \Rightarrow d x = \frac{d u}{\sec x \tan x} \\ x = 0 \Rightarrow u = 3 \\ x = \frac{π}{3} ⟹ u = 4 \\ \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec x \tan x \sqrt{\sec x + 2} d x = \int_{3}^{4} \sec x \tan x \sqrt{u} \frac{d u}{\sec x \tan x} \\ = \int_{3}^{4} \sqrt{u} d u \\ = {\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} |}_{3}^{4} \\ = \frac{2}{3} (8 - 3 \sqrt{3}) \approx 1.87 \end{aligned}$