حمّل تطبيق منهاجي الجديد

منهاجي صار أسرع من خلال التطبيق

  مهارات التفكير العليا

مهارات التفكير العليا

مشتقة اقترانات خاصة

(25) تبرير: إذا كان الاقتران : y = ex - ax، حيث a عدد حقيقي، فأجد معادلة المماس عند نقطة تقاطع الاقتران مع المحور y، مبررًا إجابتي.

y = exax

x = 0  begin mathsize 20px style rightwards double arrow end style  y = e0a(0) = 1

نقطة تقاطع منحنى الاقتران مع المحور y هي: (0, 1)

begin mathsize 20px style fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals space e to the power of x space minus space a end style

ميل المماس عند هذه النقطة هو:

begin mathsize 20px style open fraction numerator d y over denominator d x end fraction close vertical bar subscript x equals 0 end subscript end style = e0 - a = 1 - a

معادلة المماس هي:

y – 1 = (1 – a) (x – 0)  begin mathsize 20px style rightwards double arrow end style  y = (1 – a)x + 1

(26) تحد: أثبت عدم وجود مماس ميله 2 للاقتران: y = 2ex + 3x + 5x3.

ميل مماس المنحنى عند نقطة عليه هو y = 2ex + 3 + 15x2

لكل x فإن 2ex > 0

ولكل x فإن 15x2 begin mathsize 20px style greater or equal than end style 0

وبالجمع نجد أنه لكل x فإن 2ex + 15x2 > 0

وبإضافة 3 للطرفين: لكل x فإن 2ex + 15x2 + 3 > 3 أي أن y > 3

إذن لا يمكن أن تكون قيمة y تساوي 2 لأي قيمة حقيقية للمتغير x .

تبرير: إذا كان الاقتران: y = kex، حيث: k > 0، وكان منحناه يقطع المحور y عند النقطة P، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(27) أجد نقطة تقاطع مماس منحنى الاقتران عند النقطة P مع المحور x.

الإحداثي x لنقطة تقاطع المنحنى y = kex مع المحور y هو 0 .

وبالتعويض في معادلة الاقتران نجد أن y = ke0 = k ، أي أن إحداثيي P هما (0, k).

begin mathsize 20px style fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals open k e to the power of x not stretchy rightwards double arrow fraction numerator d y over denominator d x end fraction close vertical bar subscript x equals 0 end subscript equals k e to the power of 0 equals k end style

معادلة المماس هي:

yk = k(x – 0)  begin mathsize 20px style rightwards double arrow end style  y = kx + k

ولأيجاد نقطة تقاطعه مع المحور x نعوض y = 0

0 = kx + k  begin mathsize 20px style rightwards double arrow end style  x = -1

إذن، نقطة تقاطع المماس عند P مع المحور x هي: (-1, 0).

(28) إذا كان العمودي على المماس عند النقطة P يقطع المحور x عند النقطة (100, 0)، فأجد قيمة k .

ميل العمودي على المماس عند النقطة P هو begin mathsize 20px style 1 over k end style-

معادلة العمودي على المماس هي:

yk = -begin mathsize 20px style 1 over k end style(x – 0)  begin mathsize 20px style rightwards double arrow end style  y = -begin mathsize 20px style 1 over k end stylex + k

وبتعويض إحداثيي نقطة التقاطع نجد أن:

0 = -begin mathsize 20px style 1 over k end style(100) + k  begin mathsize 20px style rightwards double arrow end style  k2 = 100  begin mathsize 20px style rightwards double arrow end style k = begin mathsize 20px style plus-or-minus end style10

ولأن: k > 0 ، فإن k = 10

تحد: إذا كان الاقترانy = log x ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

(29) أثبت أن begin mathsize 22px style fraction numerator d y over denominator d x end fraction end style= begin mathsize 22px style fraction numerator 1 over denominator x space ln space 10 end fraction end style

y = log x = log10 xbegin mathsize 20px style fraction numerator l n space x over denominator l n space 10 end fraction end style = begin mathsize 20px style E left parenthesis X right parenthesis equals n p equals 200 cross times 1 over 50 equals 4 end stylelnx

begin mathsize 20px style Var invisible function application left parenthesis X right parenthesis equals n p left parenthesis 1 minus p right parenthesis equals 200 left parenthesis 1 over 50 right parenthesis left parenthesis 49 over 50 right parenthesis equals 3.92 end style

(30) معتمداً على النتيجة من السؤال السابق، أجد begin mathsize 20px style fraction numerator d y over denominator d x end fraction end style للاقتران: y = log ax2، حيث a عدد حقيقي موجب.

y = log ax2 = log a = log a + 2 log x

begin mathsize 20px style Var invisible function application left parenthesis X right parenthesis equals n p left parenthesis 1 minus p right parenthesis equals 200 left parenthesis 1 over 50 right parenthesis left parenthesis 49 over 50 right parenthesis equals 3.92 end style

تبرير: يُمثل الاقتران: t > 0 ,t) = 4 - sin t)s موقع جُسيم يتحرك في مسار مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(31) أجد سرعة الجُسيم وتسارعه بعد 1 ثانية.

s(t) = 4 – sin t

v(t) = - cos t

a(t) = sin t

(32) أجد موقع الجُسيم عندما كان في حالة سكون لحظي أول مرة بعد انطلاقه.

begin mathsize 20px style Var invisible function application left parenthesis X right parenthesis equals n p left parenthesis 1 minus p right parenthesis equals 200 left parenthesis 1 over 50 right parenthesis left parenthesis 49 over 50 right parenthesis equals 3.92 end style

يكون الجسيم في حالة سكون لحظي لأول مرة بعد انطلاقه عندما begin mathsize 20px style Var invisible function application left parenthesis X right parenthesis equals n p left parenthesis 1 minus p right parenthesis equals 200 left parenthesis 1 over 50 right parenthesis left parenthesis 49 over 50 right parenthesis equals 3.92 end style t =

ويكون موقعه عندها هو s(begin mathsize 20px style Var invisible function application left parenthesis X right parenthesis equals n p left parenthesis 1 minus p right parenthesis equals 200 left parenthesis 1 over 50 right parenthesis left parenthesis 49 over 50 right parenthesis equals 3.92 end style)

begin mathsize 20px style Var invisible function application left parenthesis X right parenthesis equals n p left parenthesis 1 minus p right parenthesis equals 200 left parenthesis 1 over 50 right parenthesis left parenthesis 49 over 50 right parenthesis equals 3.92 end style

(33) أجد موقع الجُسيم عندما يكون تسارعه صفرًا، مبررًا إجابتي.

a(t) = v(t) = sin t  begin mathsize 20px style Var invisible function application left parenthesis X right parenthesis equals n p left parenthesis 1 minus p right parenthesis equals 200 left parenthesis 1 over 50 right parenthesis left parenthesis 49 over 50 right parenthesis equals 3.92 end style a(t) = 0  begin mathsize 20px style Var invisible function application left parenthesis X right parenthesis equals n p left parenthesis 1 minus p right parenthesis equals 200 left parenthesis 1 over 50 right parenthesis left parenthesis 49 over 50 right parenthesis equals 3.92 end style sin t = 0

وبتعويض هذه النتيجة في اقتران الموقع نجد أن:

s(t) = 4 – sin t = 4 – 0 = 4

أي أن الجسيم يكون عند s = 4 m عندما تسارعه صفراً.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

31 / 08 / 2024

النقاشات