إجابات كتاب التمارين

تكامل اقترانات خاصة

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int \frac{1-x^2}{5x}dx$ (1)

$\begin{array}{rl}\int \frac{1-x^2}{5x}dx& =\int (\frac{1}{5x}-\frac{x^2}{5x})dx\\ & =\int (\frac{1}{5x}-\frac{1}{5}x)dx\\ & =\frac{1}{5}\ln \left|x\right|-\frac{1}{10}{x}^2+C\end{array}$

$\int (5e^x+4)dx$ (2)

$\int (5e^x+4)dx=5e^x+4x+C$

$\int (1-e^{2x-3})dx$ (3)

$\int (1-e^{2x-3})dx=x-\frac{1}{2}{e}^{2x-3}+C$

$\int (\sin 2x-\cos 2x)dx$ (4)

$\int (\sin 2x-\cos 2x)dx=-\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x+C$

$\int \frac{3}{2x-1}dx$ (5)

$\int \frac{3}{2x-1}dx=\frac{3}{2}\ln |2x-1|+C$

$\int (5-\sin (5-5x\left)\right)dx$ (6)

$\int (5-\sin (5-5x\left)\right)dx=5x-\frac{1}{5}\cos (5-5x)+C$

$\int \frac{1}{\frac{1}{3}x-2}dx$ (7)

$\int \frac{1}{\frac{1}{3}x-2}dx=3\ln |\frac{1}{3}x-2|+C$

$\int (2x-1+\frac{8}{5x+4})dx$ (8)

$\int (2x-1+\frac{8}{5x+4})dx=x^2-x+\frac{8}{5}\ln |5x+4|+C$

$\int (3\cos x+\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2})dx$ (9)

$\int (3\cos x+\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2})dx=3\sin x+5\ln \left|x\right|-\frac{4}{x}+C$

$\int (3x+2{)}^{5}dx$ (10)

$\int (3x+2{)}^{5}dx=\frac{1}{18}(3x+2{)}^6+C$

$\int \frac{x+1}{x^2+2x+5}dx$ (11)

$\begin{array}{rl}\int \frac{x+1}{x^2+2x+5}dx& =\frac{1}{2}\int \frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx\\ & =\frac{1}{2}\ln |x^2+2x+5|+C\end{array}$

$\int (e^{2x}-\frac{1}{2}\sin (2x-1\left)\right)dx$ (12)

$\int (e^{2x}-\frac{1}{2}\sin (2x-1\left)\right)dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+\frac{1}{4}\cos (2x-1)+C$

$\int (\sin (2x+3)+\cos (3x+2\left)\right)dx$ (13)

$\begin{array}{rl}& \int (\sin (2x+3)+\cos (3x+2\left)\right)dx\\ & =-\frac{1}{2}\cos (2x+3)+\frac{1}{3}\sin (3x+2)+C\end{array}$

$\int (\frac{1}{8}{x}^{3/2}-\frac{4}{x})dx$ (14)

$\int (\frac{1}{8}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{x})dx=\frac{1}{20}{x}^{\frac{5}{2}}-4\ln \left|x\right|+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x-1}}dx$ (15)

$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{\sqrt{x-1}}dx& =\int (x-1{)}^{-\frac{1}{2}}dx\\ & =2(x-1{)}^{\frac{1}{2}}+C\\ & =2\sqrt{x-1}+C\end{array}$

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

${\int }_0^1\sqrt{1+7x}dx$ (16)

$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\sqrt{1+7x}dx& ={\int }_0^1(1+7x{)}^{\frac{1}{2}}dx\\ & ={\frac{2}{21}(1+7x{)}^{\frac{3}{2}}|}_0^1\\ & =\frac{2}{21}(1+7(1){)}^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{21}(1+7\left(0\right){)}^{\frac{3}{2}}\\ & =\frac{2}{21}\sqrt{512}-\frac{2}{21}\end{array}$

${\int }_0^1{e}^x(4-e^x)dx$ (17)

$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{e}^x(4-e^x)dx& ={\int }_0^1(4e^x-e^{2x})dx\\ & ={(4e^x-\frac{1}{2}{e}^{2x})|}_0^1\\ & =4e-\frac{1}{2}{e}^2-\frac{7}{2}\end{array}$

${\int }_1^3(1+\frac{1}{x})dx$ (18)

$\begin{array}{rl}{\int }_1^3(1+\frac{1}{x})dx& ={(x+\ln |x\left|\right)|}_1^3\\ & =2+\ln 3\end{array}$

(19) إذا كان ميل المماس لمحنى العلاقة هو$y$: $bbb$، فأجد قاعدة العلاقة $\frac{dy}{dx}=6e^{2x}+2e^{-x}$، علماً بأن منحناها يمر بالنقطة $(0,2)$.

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}& y=f\left(x\right)=\int (6e^{2x}+2e^{-x})dx\\ & =3e^{2x}-2e^{-x}+C\\ & y=f\left(x\right)=3e^{2x}-2e^{-x}+C\\ & f\left(0\right)=2\Rightarrow 3-2+C=2\\ & \Rightarrow C=1\\ & \Rightarrow y=3e^{2x}-2e^{-x}+1\end{array}\end{array}$

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}$، ونقطة يمر بها منحنى $\mathit{y}\mathbf{=}\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}$. أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}$:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=e^{-x};(0,3)$ (20)

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int e^{-x}dx=-e^{-x}+C\\ & f\left(0\right)=3\Rightarrow -1+C=3\\ & \Rightarrow C=4\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=-e^{-x}+4\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{3}{x}-4;(1,0)$ (21)

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int (\frac{3}{x}-4)dx\\ & =3\ln \left|x\right|-4x+C\\ & f\left(1\right)=0\Rightarrow -4+C=0\\ & \Rightarrow C=4\\ & \Rightarrow f\left(x\right)=3\ln \left|x\right|-4x+4\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=4e^x-2;(0,1)$ (22)

$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\int (4e^x-2)dx\\ =4e^x-2x+C\\ f\left(0\right)=1\Rightarrow 4+C=1\\ \Rightarrow C=-3\\ \Rightarrow f\left(x\right)=4e^x-2x-3\end{array}$

(23) تلوث: يعالج التلوث في بحيرة باستعمال مضاد للبكتيريا. إذا كان عـدد الخلايا البكتيرية الضارة لكل مليلتر من الماء في البحيرة يتغير بمعدل: $N^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=-\frac{2000t}{1+t^2}$، حيث $N\left(t\right)$ عدد الخلايا البكتيرية لكل مليلتر من الماء بعد $t$ يوماً من استعمال المضاد، فأجد $N\left(t\right)$، علماً بأن العدد الابتدائي للخلايا هو 5000 خلية لكل مليلتر.

$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}N\left(t\right)& =\int -\frac{2000t}{1+t^2}dt\\ & =\int -\frac{1000\left(2t\right)}{1+t^2}dt\\ & =-1000\ln |1+t^2|+C\end{array}\\ \begin{array}{rl}& N\left(0\right)=5000⟹-1000\ln |1+0|+C=5000\\ & \Rightarrow C=5000\end{array}\\ \Rightarrow N\left(t\right)=-1000\ln |1+t^2|+5000\end{array}$

(24) أحدد أوجه الاختلاف بين التكاملين الآتيين من دون إيجاد التكامل:

التكامل الأيسر هو مجموع تكاملين لاقترانين، أحدهما مثلثي هو $f\left(x\right)=3\sin 3x$ والآخر ثابت هو $g\left(x\right)=1$.

بينما التكامل الأيمن هو اتقتران مثلثي واحد فقط هو $h\left(x\right)=3\sin (3x+1)$