أتحقق من فهمي

مشتقتا الاقتران الأسي الطبيعي والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي

مشتقة الاقتران الأسي الطبيعي

أتحقق من فهمي صفحة 74

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f\left(x\right)=2e^x+3$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2e^x$

(b) $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+e^x$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}+e^x=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}+e^x$

(c) $y=x{e}^x$

$\frac{dy}{dx}=x{e}^x+e^x=e^x(x+1)$

مشتقة الاقتران الأسي الطبيعي، وقاعدة السلسة

أتحقق من فهمي صفحة 75

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f\left(x\right)=e^{7x+1}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=7e^{7x+1}$

(b) $f\left(x\right)=e^{x^3}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x^2{e}^{x^3}$

(c) $f\left(x\right)=5e^{\sqrt{x}}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{5}{2\sqrt{x}}{e}^{\sqrt{x}}$

أتحقق من فهمي صفحة 76

قمر صناعي: تُستعمل مادة مشعّة لتزويد قمر صناعي بالطاقة. ويمكن نمذجة مقدار الطاقة المتبقيّة في المادة المشعة (بالواط) باستعمال الاقتران: $P\left(t\right)=50e^{-0.004t}$ ، حيث t الزمن بالأيام. أجد معدل تغير الطاقة المتبقية في القمر الصناعي بعد 500 يوم، مفسراً معنى الناتج.

$\begin{array}{rl}& P^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=50(-0.004)e^{-0.004t}=-0.2e^{-0.004t}\\ & P^{\mathrm{\prime }}\left(500\right)=-0.2e^{-0.004\left(500\right)}=-0.2e^{-2}\approx -0.03\end{array}$

تتناقص الطاقة المتبقية بمعدل 0.03 واط لكل يوم بعد 500 يوم.

مشتقة الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي

أتحقق من فهمي صفحة 78

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f\left(x\right)=4\ln x$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{4}{x}$

(b) $f\left(x\right)=\sqrt{x}+\ln x$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x}$

(c) $y=\frac{\ln x}{x}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{\left(x\right)\left(\frac{1}{x}\right)-(lnx)\left(1\right)}{x^2}=\frac{1-lnx}{x^2}$

مشتقة الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي، وقاعدة السلسلة

أتحقق من فهمي صفحة 80

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f\left(x\right)=\ln \left(8x\right)$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{8}{8x}=\frac{1}{x}$

(b) $f\left(x\right)=2\ln \left(x^7\right)$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2\times \frac{7x^6}{x^7}=\frac{14}{x}$

(c) $f\left(x\right)=\ln (9x+2)$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{9}{9x+2}$