أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

مشتقتا الاقتران الأسي الطبيعي والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(1) f(x)=2ex+1

f(x)=2ex

(2) f(x)=e3x+9

f(x)=3e3x+9

(3) f(x)=(x2+3x9)ex

f(x)=(x2+3x9)(ex)+(ex)(2x+3)=ex(x2+5x6)

(4) f(x)=exx4

ff(x)=x4exex(4x3)x8=xex4exx5

(5) f(x)=6ex

f(x)=6×12xex=3xex

(6) f(x)=ex1+ex

f(x)=(1+ex)(ex)ex(ex)(1+ex)2=ex(1+ex)2

(7) f(x)=(ex+2)(ex1)

f(x)=(ex+2)(ex)+(ex1)(ex)=2e2x+ex

(8) f(x)=e2x(2x1)5

f(x)=(e2x)×5(2x1)4×2+(2x1)5(2e2x)=2e2x(2x1)4(62x)

(9) f(x)=x35e2x

ff(x)=3x25×2e2x=3x210e2x

 

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(10) f(x)=3ln x

f(x)=3x

(11) f(x)=x3ln x

f(x)=(x3)(1x)+(lnx)(3x2)=x2+3x2lnx

(12) f(x)=ln xx2

f(x)=x2(1x)(lnx)(2x)x4=x2xlnxx4=12lnxx3

(13) f(x)=x2ln(4x)

ff(x)=(x2)(44x)+(ln(4x))(2x)=x+2xln(4x)

(14) f(x)=ln(x+1x)

f(x)=(x)(1)(x+1)(1)x2x+1x=1x2x+1x=1x2×xx+1=1x(x+1)

(15) f(x)=lnx21

f(x)=2x2x21x21=2x2x21×1x21=xx21

(16) ff(x)=(lnx)4

f(x)=4(lnx)3×1x=4(lnx)3x

(17) f(x)=ln(x25)

f(x)=2xx25

(18) f(x)=x4lnx12ex

f(x)=(x4)(1x)+(lnx)(4x3)12ex=x3+4x3lnx12ex

(19) f(x)=e2xlnx

f(x)=(e2x)(1x)+(lnx)(2e2x)=e2x(1+xlnx)x

(20) ff(x)=(ln3x)(ln7x)

f(x)=(ln3x)(77x)+(ln7x)(33x)=ln3x+ln7xx

(21) f(x)=ln(ex2)

f(x)=exex2

 

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(22) f(x)=e2x1ln(2x1) , x=1

f(x)=(e2x1)(22x1)+(ln(2x1))(2e2x1)f(1)=(e21)(221)+(ln(21))(2e21)=2e+0=2e

 

(23) f(x)=lnx2x , x=4

f(x)=x(2xx2)(lnx2)(1)x2=2lnx2x2f(4)=2ln1616

 

(24) فيروسات: يمكن نمذجة انتشار الإنفلونزا في إحدى المدارس باستعمال الاقتران: P(t)=1001+e3t ، حيث P(t) عدد السنوات بعد t يوماً من ملاحظة الإنفلونزا أوّل مرّة في المدرسة. أجد سرعة انتشار الإنفلونزا في المدرسة بعد 3 أيام.

P(t)=100×e3t(1+e3t)2=100e3t(1+e3t)2P(3)=100e33(1+e33)2=1004=25

 

(25) ذاكرة: يُستعمل الاقتران: m(t)=tln t+1 , 0<t4 لقياس قدرة الأطفال على التذكر، حيث m مقياس من 1 إلى 7 ، و t عمر الطفل بالسنوات. أجد معدل تغير قدرة الأطفال على التذكر بالنسبة إلى عمر الطفل t .

m(t)=(t)(1t)+(ln t)(1)=1+ln t

 

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد dydx لكلّ ممّا يأتي:

(26) y=e2u+3 , u=x2+1

dydu=2e2ududx=2xdydx=dydu×dudx=2e2u×2x=4xe2u=4xe2(x2+1)

 

(27) y=ln(u+1) , u=ex

dydu=1u+1dudx=exdydx=dydu×dudx=1u+1×ex=exex+1

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

النقاشات