أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

الشرط الأولي

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران f(x) ، ونقطة يمر بها منحنى y = f(x) . أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران f(x) :

(1) f(x) = x7

f(x)=(x3) dx=12x23x+C9=12×(2)23(2)+CC=13f(x)=12x23x+13

(2) f(x)=x24; (0,7)

f(x)=(x24) dx=13x34x+C7=13×(0)34(0)+CC=7f(x)=13x34x+7

(3) f(x)=6x24x+2; (1,9)

f(x)=(6x24x+2) dx=2x32x2+2x+C9=2(1)32(1)2+2(1)+CC=7f(x)=2x32x2+2x+7

(4) f(x)=x+14x2; (4,11)

f(x)=(x+14x2) dx=(x12+14x2) dx=23x32112x3+C11=23(4)32112(4)3+CC=11f(x)=23x32112x3+11=23x3112x3+11

(5) f(x)=(x+2)2; (1,7)

f(x)=(x+2)2 dx=(x2+4x+4) dx=13x3+2x2+4x+C7=13(1)3+2(1)2+4(1)+CC=23f(x)=13x3+2x2+4x+23

(6) f(x)=3xx; (4,0)

f(x)=(3xx) dx=(3x12x) dx=6x1212x2+C=6x12x20=6412(4)2+CC=4f(x)=6x12x24

 

(7) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة y هو: dydx=0.4x+3 ، فأجد قاعدة العلاقة y ، علماً بأنّ منحناها يمر بالنقطة (0, 5).

y=(0.4x+3) dx=0.2x2+3x+C5=0.2(0)2+3(0)+CC=5y=0.2x2+3x+5

 

(8) إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران f(x) هو: f(x)=x2+10x2 ، فأجد قاعدة الاقتران f(x)، علماً بأنّ منحناها يمر بالنقطة (5, 2).

f(x)=x2+10x2dx=(x2x2+10x2)dx=(1+10x2)dx=x10x1+C=x10x+C2=5105+CC=1f(x)=x10x1

 

(9) يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران f(x)، حيث: f(x)=3x2 - 3 .

أجد قاعدة الاقتران f(x).

 منحنى الاقتران f(x)

f(x)=(3x23)dx=x33x+C

منحنى الاقتران يمر بالنقطة (0, 2)، إذن:

2=(0)33(0)+CC=2f(x)=x33x+2

 

بالون: عند نفخ بالون كروي الشكل يصبح نصف قطره y سنتمتراً بعد t ثانية.

إذا كان: dydt=4t23, t>0، وكان نصف قطر البالون بعد 8 ثوانٍ من بدء نفخه 30 cm ، فأجد كلاً مما يأتي:

(10) قاعدة العلاقة y بدلالة t .

y=4t23dt=12t13+C=12t3+C30=1283+CC=6y=12t3+6

(11) نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من بدء نفخه.

y=12273+6=42

إذن نصف قطر البالون بعد  27ثانية من بدء نفخه هو: 42 cm

 

(12) أشجار: في دراسة تناولت نوعاً معيناً من الأشجار تبين أن ارتفاع هذه الأشجار يتغير بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران:  h(t)=0.2t23+t ، حيث h(t) ارتفاع الشجرة بالأقدام، و t عدد السنوات منذ لحظة زراعة الشجرة. إذا كان ارتفاع إحدى هذه الأشجار عند زراعتها هو  2 ft فأجد h(t) .

h(t)=(0.2t23+t)dt=(0.2t23+t12)dt=0.12t53+23t32+C=0.12t53+23t3+C

بما أن ارتفاع الشجرة عند زراعتها 2 ft ، فإن h(0) = 2 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C .

2=0.12(0)53+23(0)3+CC=2h(t)=0.12t53+23t3+2

 

(13) يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران:  v(t) = 2t + 3 ، حيث t الزمن بالثواني، و v سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.

s(t)=v(t)dt=(2t+3)dt=t2+3t+C

بما أن الجُسيم بدأ حركته من نقطة الأصل، فإن s(0) = 0 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C .

s(t)=t2+3t+C0=(0)2+3(0)+CC=0s(t)=t2+3ts(3)=(3)2+3(3)=18

إذن موقع الجُسيم بعد 3 ثوان من بدء الحركة هو: 18 m

 

(14) يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، ويعطى تسارعه بالاقتران:  a(t) = t2 ، حيث t الزمن بالثواني، و a تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم هو 3 m، وكانت سرعته المتجهة هي 1 m/s بعد ثانية واحدة من بدء حركته، فأجد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة.

v(t)=a(t)dt=t2dt=12t3+C1

بما أن السرعة المتجهة بعد ثانية واحدة من بدء الحركة هي 1 m/s ، فإن v(1) = 1 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C1 .

1=12(1)3+C1C1=12v(t)=12t3+12s(t)=v(t)dt=(12t3+12)dt=18t4+12t+C2

بما أن الموقع الابتدائي للجُسيم هو 3 m ، فإن s(0) = 3 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C2 .

s(t)=18t4+12t+C23=18(0)4+12(0)+C2C2=3s(t)=18t4+12t+3s(2)=18(2)4+12(2)+3=5

إذن موقع الجُسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو: 5 m

 

(15) يتحرك جُسيم من السكون، ويعطى تسارعه بالاقتران:  a(t) = 9 – 2t ، حيث t الزمن بالثواني، و a تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة هي 2 m/s ، فأجد موقعه بعد ثانيتين من بدء الحركة.

v(t)=a(t)dt=(92t)dt=9tt2+C1

بما أن السرعة المتجهة الابتدائية هي 2 m/s ، فإن v(0) = 2 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C1 .

v(t)=9tt2+C12=9(0)(0)2+C1C1=2v(t)=9tt2+2s(t)=v(t)dt=(9tt2+2)dt=12t213t3+2t+C2

بما أن الحركة من نقطة الأصل، فإن s(0) = 0 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C2 .

s(t)=12t213t3+2t+C20=12(0)213(0)3+2(0)+C2C2=0s(t)=12t213t3+2ts(2)=12(2)213(2)3+2(2)=583

إذن موقع الجُسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو: 583 m

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

النقاشات