أتدرب وأحل المسائل
الشرط الأولي
في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران f(x) ، ونقطة يمر بها منحنى y = f(x) . أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران f(x) :
(1) f(x) = x7
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة y هو: ، فأجد قاعدة العلاقة y ، علماً بأنّ منحناها يمر بالنقطة (0, 5).
(8) إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران f(x) هو: ، فأجد قاعدة الاقتران f(x)، علماً بأنّ منحناها يمر بالنقطة (5, 2).
(9) يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران f(x)، حيث: .
أجد قاعدة الاقتران f(x).
منحنى الاقتران يمر بالنقطة (0, 2)، إذن:
بالون: عند نفخ بالون كروي الشكل يصبح نصف قطره y سنتمتراً بعد t ثانية.
إذا كان: ، وكان نصف قطر البالون بعد 8 ثوانٍ من بدء نفخه 30 cm ، فأجد كلاً مما يأتي:
(10) قاعدة العلاقة y بدلالة t .
(11) نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من بدء نفخه.
إذن نصف قطر البالون بعد 27ثانية من بدء نفخه هو: 42 cm
(12) أشجار: في دراسة تناولت نوعاً معيناً من الأشجار تبين أن ارتفاع هذه الأشجار يتغير بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران: ، حيث h(t) ارتفاع الشجرة بالأقدام، و t عدد السنوات منذ لحظة زراعة الشجرة. إذا كان ارتفاع إحدى هذه الأشجار عند زراعتها هو 2 ft فأجد h(t) .
بما أن ارتفاع الشجرة عند زراعتها 2 ft ، فإن h(0) = 2 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C .
(13) يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: v(t) = 2t + 3 ، حيث t الزمن بالثواني، و v سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.
بما أن الجُسيم بدأ حركته من نقطة الأصل، فإن s(0) = 0 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C .
إذن موقع الجُسيم بعد 3 ثوان من بدء الحركة هو: 18 m
(14) يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، ويعطى تسارعه بالاقتران: a(t) = t2 ، حيث t الزمن بالثواني، و a تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم هو 3 m، وكانت سرعته المتجهة هي 1 m/s بعد ثانية واحدة من بدء حركته، فأجد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة.
بما أن السرعة المتجهة بعد ثانية واحدة من بدء الحركة هي 1 m/s ، فإن v(1) = 1 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C1 .
بما أن الموقع الابتدائي للجُسيم هو 3 m ، فإن s(0) = 3 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C2 .
إذن موقع الجُسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو: 5 m
(15) يتحرك جُسيم من السكون، ويعطى تسارعه بالاقتران: a(t) = 9 – 2t ، حيث t الزمن بالثواني، و a تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة هي 2 m/s ، فأجد موقعه بعد ثانيتين من بدء الحركة.
بما أن السرعة المتجهة الابتدائية هي 2 m/s ، فإن v(0) = 2 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C1 .
بما أن الحركة من نقطة الأصل، فإن s(0) = 0 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C2 .
إذن موقع الجُسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو: m
إعداد : شبكة منهاجي التعليمية
10 / 07 / 2023
النقاشات