أتدرب وأحل المسائل

المساحة

أجد مساحة المنطقة المظللة في كل من التمثيلات البيانية الآتية:

$\begin{array}{rl}A={\int }_{-2}^1(x^2+2)dx& ={(\frac{1}{3}{x}^3+2x)|}_{-2}^1\\ & =\left(\frac{1}{3}\right(1{)}^3+2\left(1\right))-\left(\frac{1}{3}\right(-2{)}^3+2(-2))\\ & =9\end{array}$

$\begin{array}{rl}A={\int }_4^9{x}^{\frac{3}{2}}dx& ={\left(\frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}\right)|}_4^9\\ & ={\left(\frac{2}{5}\sqrt[2]{x^5}\right)|}_4^9\\ & =\left(\frac{2}{5}\sqrt[2]{9^5}\right)-\left(\frac{2}{5}\sqrt[2]{4^5}\right)\\ & =\frac{422}{5}\end{array}$

$\begin{array}{rl}A=-{\int }_2^4(\frac{2}{x^2}-3)dx& =-{\int }_2^4(2x^{-2}-3)dx\\ & ={\int }_2^4(-2x^{-2}+3)dx\\ & ={(2x^{-1}+3x)|}_2^4\\ & ={(\frac{2}{x}+3x)|}_2^4\\ & =(\frac{2}{4}+3(4\left)\right)-(\frac{2}{2}+3(2\left)\right)\\ & =\frac{11}{2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}A& ={\int }_{-1}^0(x^3-3x)dx-{\int }_0^1(x^3-3x)dx\\ & ={\int }_{-1}^0(x^3-3x)dx+{\int }_0^1(-x^3+3x)dx\\ & ={(\frac{1}{4}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2)|}_{-1}^0+{(-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2)|}_0^1\\ & =\left(0\right)-\left(\frac{1}{4}\right(-1{)}^4-\frac{3}{2}(-1{)}^2)+(-\frac{1}{4}(1{)}^4+\frac{3}{2}\left(1{)}^2\right)-\left(0\right)\\ & =\frac{5}{2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}A={\int }_0^3(x+1)dx& ={(\frac{1}{2}{x}^2+x)|}_0^3\\ & =\left(\frac{1}{2}\right(3{)}^2+3)-\left(\frac{1}{2}\right(0{)}^2+0)\\ & =\frac{15}{2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}A={\int }_0^{2}3x^{2}dx& ={x^3|}_0^3\\ & =\left(3^3\right)-\left(0^3\right)\\ & =27\end{array}$

(7) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران:$f\left(x\right)=3x^2-2x+2$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x=0,x=2$

$f\left(x\right)=3x^2-2x+2$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$f\left(x\right)=0\Rightarrow 3x^2-2x+2=0$

نحسب المميز:

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-2{)}^2-4(3\left)\right(2)=-20$

بما أن المميز سالب، إذن لا يوجد حلول لهذه المعادلة، وتكون حدود التكامل هي 0 و 2 نختار عدداً ضمن الفترة [0,2]، وليكن 1 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f\left(1\right)=3(1{)}^2-2(1)=1>0$

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [2,0] 

$\begin{array}{rl}A={\int }_0^2(3x^2-& 2x+2)dx={(\frac{1}{3}{x}^3-x^2+2x)|}_0^2\\ & =\left(\frac{1}{3}\right(2{)}^3-(2{)}^2+2(2\left)\right)-\left(\frac{1}{3}\right(0{)}^3-(0{)}^2+2(0\left)\right)\\ & =\frac{8}{3}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{8}{3}$ وحدة مربعة.

(8) جد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=9-x^2$، والمحور $x$

$f\left(x\right)=9-x^2$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=0& \Rightarrow 9-x^2=0\\ & \Rightarrow (3+x)(3-x)=0\\ & \Rightarrow x=-3,x=3\end{array}$

هذه الإحداثيات تمثل حدود التكامل.

نختار عدداً ضمن الفترة [3,3-]، وليكن 0 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f\left(0\right)=9-(0{)}^2=9>0$

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [3,3-] 

$\begin{array}{rl}A={\int }_{-3}^3(9-x^2)dx& ={(9x-\frac{1}{3}{x}^3)|}_{-3}^3\\ & =\left(9\right(3)-\frac{1}{3}(3{)}^3)-\left(9\right(-3)-\frac{1}{3}(-3{)}^3)\\ & =36\end{array}$

إذن، المساحة هي: 36 وحدة مربعة.

(9) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^3+4x$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x=-1,x=2$

$f\left(x\right)=x^3+4x$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=0& \Rightarrow x^3+4x=0\\ & \Rightarrow x(x^2+4)=0\\ & \Rightarrow x=0\end{array}$

مميز العبارة التربيعية $(x^2+4)$ سالب، لذا لا أصفار لها.

نختار عدداً ضمن الفترة [1,0-]، وليكن $-\frac{1}{2}$ ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f(-\frac{1}{2})={(-\frac{1}{2})}^3+4(-\frac{1}{2})=-\frac{17}{2}<0$

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [1,0-] 

نختار عدداً ضمن الفترة [0,2]، وليكن 1 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f\left(1\right)=(1{)}^3+4(1)=5>0$

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [0,2]

 $\begin{array}{rl}A& =-{\int }_{-1}^0(x^3+4x)dx+{\int }_0^2(x^3+4x)dx\\ & ={\int }_{-1}^0(-x^3-4x)dx+{\int }_0^2(x^3+4x)dx\\ & ={(-\frac{1}{4}{x}^4-2x^2)|}_{-1}^0+{(\frac{1}{4}{x}^4+2x^2)|}_0^2\\ & =\left(\right(0)-(-\frac{1}{4}(-1{)}^4-2(-1{)}^2))+((-\frac{1}{4}(2{)}^4+2\left(2{)}^2\right)-(0\left)\right)\\ & =\frac{25}{4}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{25}{4}$ وحدة مربعة.

(10) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=-7+2x-x^2$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x=1,x=4$

$f\left(x\right)=-7+2x-x^2$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$f\left(x\right)=0\Rightarrow -7+2x-x^2=0$

نحسب المميز:

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(2{)}^2-4(-1\left)\right(-7)=-24$

بما أن المميز سالب، إذن لا يوجد حلول لهذه المعادلة، وتكون حدود التكامل هي 1 و 4 نختار عدداً ضمن الفترة [1,4]، وليكن 2 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f\left(1\right)=-7+2\left(1\right)-(1{)}^2=-6<0$

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [1,4] 

$\begin{array}{rl}A& =-{\int }_1^4(-7+2x-x^2)dx\\ & ={\int }_1^4(7-2x+x^2)dx\\ & ={(7x-x^2+\frac{1}{3}{x}^3)|}_1^4\\ & =\left(7\right(4)-(4{)}^2+\frac{1}{3}\left(4{)}^3\right)-\left(7\right(1)-(1{)}^2+\frac{1}{3}\left(1{)}^3\right)\\ & =27\end{array}$

إذن، المساحة هي: 27 وحدة مربعة.

(11) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=5-x$، والمحور $x$، والمستقيمين: $x=3,x=5$

$f\left(x\right)=5-x$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=0& \Rightarrow 5-x=0\\ & \Rightarrow x=5\end{array}$

نختار عدداً ضمن الفترة [3,5]، وليكن 4 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f\left(4\right)=5-\left(4\right)=1>0$

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [3,5] 

$\begin{array}{rl}A={\int }_3^5(5-x)dx& ={(5x-\frac{1}{2}{x}^2)|}_3^5\\ & =(\left(5\right(5)-\frac{1}{2}(5{)}^2)-\left(5\right(3)-\frac{1}{2}(3{)}^2))\\ & =2\end{array}$

إذن، المساحة هي: 2 وحدة مربعة.

(12) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=(x+1)(x-4)$، والمحور $x$

$f\left(x\right)=(x+1)(x-4)$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=0& \Rightarrow (x+1)(x-4)=0\\ & \Rightarrow x=-1,x=4\end{array}$

هذه الإحداثيات تمثل حدود التكامل.

نختار عدداً ضمن الفترة [1,4-]، وليكن 0 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f\left(0\right)=(0+1)(0-4)=-4<0$

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [1,4-] 

$\begin{array}{rl}& A=-{\int }_{-1}^4(x+1)(x-4)dx=-{\int }_{-1}^4(x^2+x-4x-4)dx\\ & =-{\int }_{-1}^4(x^2-3x-4)dx\\ & ={\int }_{-1}^4(-x^2+3x+4)dx\\ & ={(-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+4x)|}_{-1}^4\\ & =(-\frac{1}{3}(4{)}^3+\frac{3}{2}(4{)}^2+4(4\left)\right)-(-\frac{1}{3}(-1{)}^3+\frac{3}{2}(-1{)}^2+4(-1\left)\right)\\ & =\frac{125}{6}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{25}{6}$ وحدة مربعة.

يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{x}$:

(13) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران، والمحور $x$

$f\left(x\right)=x^2-2x$

حسب الشكل، فإن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [0,2]

$\begin{array}{rl}& A=-{\int }_0^2(x^2-2x)dx={\int }_0^2(-x^2+2x)dx\\ & ={(-\frac{1}{3}{x}^3+x^2)|}_0^2\\ & =(-\frac{1}{3}(2{)}^3+\left(2{)}^2\right)-(-\frac{1}{3}(0{)}^3+\left(0{)}^2\right)\\ & =\frac{4}{3}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{4}{3}$ وحدة مربعة.

(14) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران، والمحور $x$، والمستقيم $x=3$

$\begin{array}{rl}A& ={\int }_2^3(x^2-2x)dx\\ & ={(\frac{1}{3}{x}^3-x^2)|}_2^3\\ & =\left(\right(9-9)-(\frac{8}{3}-4))\\ & =\frac{4}{3}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{4}{3}$ وحدة مربعة.

(15) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران، والمحور $x$، والمستقيم $x=-1$

$\begin{array}{rl}A& ={\int }_{-1}^0(x^2-2x)dx\\ & ={(\frac{1}{3}{x}^3-x^2)|}_{-1}^0\\ & =\left(0\right)-(-\frac{1}{3}-1)\\ & =\frac{4}{3}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{4}{3}$ وحدة مربعة.

(16) يبين التمثيل البياني المجاور شكل السطح العلوي لجناح طائرة، ممثلاً بالمعادلة: $y=8+8\sqrt{x}-6x$، حيث: $0\le x\le 4$. أجد مساحة السطح العلوي لجناح الطائرة.

$\begin{array}{rl}A={\int }_0^4(8+8\sqrt{x}-6x)dx& ={\int }_0^4(8+8x^{\frac{1}{2}}-6x)dx\\ & ={(8x+\frac{16}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-3x^2)|}_0^4\\ & ={(8x+\frac{16}{3}\sqrt{x^3}-3x^2)|}_0^4\\ & =\left(8\right(4)+\frac{16}{3}\sqrt{4^3}-3(4{)}^2)-\left(0\right)\\ & =\frac{80}{3}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{80}{3}$ وحدة مربعة.