أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

الاقترانات اللوغاريتمية

أتدرب وأحل المسائل

أكتب كل معادلة لوغاريتمية ممّا يأتي في صورة أسيّة:

(1) log7 343 = 3

73 = 343

(2) log4 256 = 4

44 = 256

(3) log125 5 = 13

12513 = 5

(4) log36 6 = 0.5

360.5 = 6

(5) log9 1 = 0

90 = 1

(6) log57 57 = 1

571 = 57

 

أكتب كل معادلة أسيّة ممّا يأتي في صورة لوغاريتمية:

(7) 26 = 64

log2 64 = 6

(8) 4-3 = 164

log4 164 = -3

(9) 63 = 216

log6 216 = 3

(10) 5-3 = 0.008

log5 0.008 = -3

(11) (51)1 = 51

log51 51 = 1

(12) 90 = 1

log9 1 = 0

 

أجد قيمة كل ممّا يأتي من دون استعمال الآلة الحاسبة:

(13) log3 81

log3 81 = log3 34 = 4

(14) log25 5

log25 5 = y

25y = 5

52y = 51

2y = 1

y = 12 

إذن: 12 log25 5 =

(15) log2 32 

log2 32 = log2 25 = 5

إذن: log2 32  = 5

(16) log49 343

log49 343 = y

49y = 343

72y = 73

2y = 3

y = 32

إذن:log49 343 = 32 

(17) log10 0.001

log10 0.001 = log10 10-3 = -3

(18) log32 1

log32 1 = 0

(19) log14 4

log14 4 = y

(14)y = 4

4-y = 41

-y = 1

y = -1

إذن:log14 4  = -1

(20) (10)log1018

(10)log1018  = 18

(21) log2 1(2)7 

log2 1(2)7 = log2 = log2 1(2)72 = log2 (2)-72 = -72

(22) loga a5

loga a5 = loga a15 = 15

(23) log10 (1 x 10-9)  

log10 (1 x 10-9) = log10 10-9 = -9

(24) 8log85 

8log85 = 5

 

أمثل كل اقتران مما يأتي بيانياً، ثم أحدد مجاله ومداه ومقطعيه من المحورين الإحداثيين وخطوط تقاربه، مبيناً إذا كان متناقصاً أم متزايداً:

(25) f(x) = log5 x

الاقترانات اللوغاريتمية

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R+ أي (0 , ).

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد.

 

(26) g(x) = log4 x

الاقترانات اللوغاريتمية

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R+ أي (0 , ).

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد.

(27) h(x) = log15 x

الاقترانات اللوغاريتمية

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R+ أي (0 , ).

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متناقص.

(28) r(x) = log18 x

الاقترانات اللوغاريتمية

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R+ أي (0 , ).

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متناقص.

(29) f(x) = log10 x

الاقترانات اللوغاريتمية

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R+ أي (0 , ).

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد.

(30) g(x) = log6 x

الاقترانات اللوغاريتمية

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R+ أي (0 , ).

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد.

 

أجد مجال كل اقتران لوغاريتمي مما يأتي:

(31) f(x) = log3 (x – 2)

x – 2 > 0

x > 2

مجال هذا الاقتران هو (2 , ).

(32) f(x) = 5 – 2 log7 (x + 1)

x + 1 > 0

x > -1

مجال هذا الاقتران هو (-1 , ).

(33) f(x) = -3 log4 (-x)

-x > 0

x < 0

مجال هذا الاقتران هو ( , 0).

(34) أجد قيمة a التي تجعل منحنى الاقتران: f(x) = loga x يمر بالنقطة (32, 5).

f(x) = loga x

f(32) = loga 32

5 = loga 32

a5 = 32

a5 = (2)5

a = 2

(35) أجد قيمة c التي تجعل منحنى الاقتران: f(x) = logc x يمر بالنقطة ( 14, -4).

f(x) = logc x

f(14) = log14

-4 = logc 14

c-4 = 14

1c4 = 14

c4 = 4 → c2 = 2 →  c = ±2

لأن أساس اللوغاريتم لا يكون سالباً فإن: 2 c =

 

إعلانات: يمثل الاقتران: P(a) = 10 + 20 log5 (a + 1) مبيعات شركة (بآلاف الدنانير) من منتج جديد، حيث a المبلغ (بمئات الدنانير) الذي تنفقه الشركة على إعلانات المنتج. وتعني القيمة: P(1) ≈ 19 أن إنفاق JD 100 على الإعلانات يحقق إيرادات قيمتها JD 19000 من بيع المنتج:

(36) أجد P(4) ، و P(24) ، و P(124) .

P(a) = 10 + 20 log5 (a + 1)

P(4) = 10 + 20 log5 (4 + 1)

P(4) = 10 + 20 log5 5

P(4) = 10 + 20(1) = 30

 

P(24) = 10 + 20 log5 (24 + 1)

P(24) = 10 + 20 log5 25

P(24) = 10 + 20 log5 52

P(24) = 10 + 20(2) = 50

 

P(124) = 10 + 20 log5 (124 + 1)

P(124) = 10 + 20 log5 125

P(124) = 10 + 20 log5 53

P(124) = 10 + 20(3) = 70

(37) أفسر معنى القيم التي أوجدتها في الفرع السابق.

القيمة P(4) = 30 تعني أن إنفاق JD400 على الإعلانات يحقق إيراداً قيمته JD30000 من بيع المنتج.

القيمة P(24) = 50 تعني أن إنفاق JD2400 على الإعلانات يحقق إيراداً قيمته JD50000 من بيع المنتج.

القيمة P(124) = 70 تعني أن إنفاق JD12400 على الإعلانات يحقق إيراداً قيمته JD70000 من بيع المنتج.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

النقاشات