أتدرب وأحل المسائل

مشتقتا اقتران الجيب واقتران جيب التمام

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(1) $f\left(x\right)=2\cos x+\sin x$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-2sin x+cos x$

(2) $f\left(x\right)=5+\cos x$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-sin x$

(3) $f\left(x\right)=\sin x-\cos x$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=cos x+sin x$

(4) $f\left(x\right)=x\sin x$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\left(x\right)(cos x)+(sin x)\left(1\right)\\ & =x cos x+sin x\end{array}$

(5) $f\left(x\right)=\sin x\cos x$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =(sin x)(-sin x)+(cos x)(cos x)\\ & =-si{n}^2 x+co{s}^2 x\end{array}$

(6) $f\left(x\right)=e^{x }\sin x$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\left(e^x\right)(cos x)+(sin x)\left(e^x\right)\\ & =e^x cos x+e^{x}sin x\end{array}$

(7) $f\left(x\right)=\frac{e^x}{\cos x}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{(cosx)\left(e^x\right)-\left(e^x\right)(-sinx)}{co{s}^{2}x}=\frac{e^{x}cosx+e^{x}sinx}{co{s}^{2}x}$

(8) $f\left(x\right)=\sin (x^2+1)$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2x cos (x^2+1)$

(9) $f\left(x\right)=\ln (\sin x)$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{cos x}{sin x}$

(10) $f\left(x\right)=\cos (5x-2)$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-5sin (5x-2)$

(11) $f\left(x\right)=\sin 3x+\cos 6x$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3cos 3x-6sin 6x$

(12) $f\left(x\right)=\cos (x^2-3x-4)$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-(2x-3) sin (x^2-3x-4)$

(13) $f\left(x\right)=e^{2x }\sin 10x$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\left(e^{2x}\right)(10 cos 10x)+(sin 10x)\left(2e^{2x}\right)\\ & =10e^{2x }cos 10x+2e^{2x} sin 10x\end{array}$

(14) $f\left(x\right)=(\cos x^2)(\ln x)$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =(cos x^2)\left(\frac{1}{x}\right)+(ln x)(-2xsin x^2)\\ & =\frac{1}{x}(cos x^2)-2x(lnx)sin x^2\end{array}$

(15) $f\left(x\right)=\sqrt{x+1}\sin \frac{\pi x}{2}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\left(\sqrt{x+1}\right)(\frac{\pi }{2}cos \frac{\pi x}{2})+(sin \frac{\pi x}{2})\left(\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\right)$

(16) $f\left(x\right)=4{\sin }^2 x$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=4(sin x{)}^2\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=4\times 2(sin x)(cos x)=8sin x cos x\end{array}$

(17) $f\left(x\right)={\cos }^3 2x \cos x$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =(cos 2x{)}^3(cos x)\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =(cos 2x{)}^3(-sin x)+(cos x)\times 3(cos 2x{)}^2\times -2sin 2x\\ & =-(cos 2x{)}^3(sin x)-6(cos x\left)\right(cos 2x{)}^{2}sin 2x\end{array}$

(18) $f\left(x\right)=5\sin \sqrt{x}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=5\times \frac{1}{2\sqrt{x}}cos \sqrt{x}=\frac{5}{2\sqrt{x}}cos \sqrt{x}$

(19) $f\left(x\right)=(\cos 2x-\sin x{)}^2$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2(cos 2x-sin x)(-2sin 2x-cos x)$

(20) $f\left(x\right)=\sin \sqrt{x}+\sqrt{\sin 2x}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}cos\sqrt{x}+\frac{2cos2x}{2\sqrt{sin2x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}cos\sqrt{x}+\frac{cos2x}{\sqrt{sin2x}}$

(21) $f\left(x\right)=\frac{(\ln x{)}^2}{\sin x}$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{(sin x)\left(2\right(ln x)\times \frac{1}{x})-(ln x{)}^2(cos x)}{si{n}^{2}x}\\ & =\frac{2sin xln x-xcos x(ln x{)}^2}{xsi{n}^2 x}\end{array}$

(22) غزلان: يمثل الاقتران: $D\left(t\right)=1500+400 \sin 0.4t$ عدد الغزلان في إحدى الغابات بعد t سنة من بدء دراسة لأحد الباحثين عليها. أجد معدل تغير عدد الغزلان في الغابة بالنسبة إلى الزمن t .

$D^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=400\times 0.4cos 0.4t=160 cos 0.4t$

(23) نهار: يمكن إيجاد عدد ساعات النهار H في أي يوم t من العام في إحدى المدن باستعمال الاقتران: $H\left(t\right)=12+2.4\sin \left(\frac{2\pi }{365}\right(t-80\left)\right)$ . أجد معدل تغير عدد ساعات النهار بالنسبة إلى الزمن t في هذه المدينة.

$H^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=2.4\times \frac{2\pi }{365}cos\left(\frac{2\pi }{365}\right(t-80\left)\right)=\frac{4.8\pi }{365}cos\left(\frac{2\pi }{365}\right(t-80\left)\right)$