مهارات التفكير العليا

مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

تبرير: إذا كان: $y=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$ ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(34) أجد ميل المماس عند نقطة الأصل.

$\begin{array}{rl}& y=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}=\frac{1-\frac{1}{e^x}}{1+\frac{1}{e^x}}\\ & =\frac{e^x-1}{e^x+1}\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{(e^x+1)\left(e^x\right)-(e^x-1)\left(e^x\right)}{{(e^x+1)}^2}=\frac{2e^x}{{(e^x+1)}^2}\\ & {\frac{dy}{dx}|}_{x=0}=\frac{2\left(1\right)}{(1+1{)}^2}=\frac{1}{2}\end{array}$

(35) أبيّن عدم وجود مماس أفقي للاقتران y مبرراً إجابتي.

إذا وجد مماس أفقي ميله يساوي صفراً، أي أنّ: $\frac{2e^x}{{(e^x+1)}^2}=0$ ، وهذا لا يتحقق إلا إذا كان e^x = 0 ، ولكن e^x > 0 لجميع الأعداد الحقيقية x ، ولذا لا يوجد لهذا المنحنى مماسات أفقية.

تحدّ: إذا كان: $y=\frac{x+1}{x-1}$ ، حيث: $x\ne 1$ فأجيب عن الأسئلة الثلاثة الآتية تباعاً:

(36) أجد $\frac{dx}{dy}$ .

$\begin{array}{rl}& y=\frac{x+1}{x-1}\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{(x-1)\left(1\right)-(x+1)\left(1\right)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}\end{array}$

(37) أعيد كتابة المعادلة بالنسبة إلى المتغير x  (x اقتران بالنسبة إلى y)، ثم أجد $\frac{dx}{dy}$ .

$\begin{array}{rl}& y=\frac{x+1}{x-1}\to x+1=y(x-1)\to x(1-y)=-y-1\\ & x=\frac{y+1}{y-1}\\ & \frac{dx}{dy}=\frac{-2}{(y-1{)}^2}\end{array}$

(38) أبيّن أنّ $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ 

$\begin{array}{rl}\frac{dx}{dy}& =\frac{-2}{(y-1{)}^2}\\ & =\frac{-2}{{(\frac{x+1}{x-1}-1)}^2}\\ & =\frac{-2}{{\left(\frac{2}{x-1}\right)}^2}=\frac{-2}{\frac{4}{(x-1{)}^2}}=\frac{(x-1{)}^2}{-2}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\end{array}$

تبرير: إذا كان $f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x^2}$ ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(39) أثبت أنّ $f^{\prime \prime }\left(x\right)=\frac{6\ln x-5}{x^4}$ ، مبرراً إجابتي.

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\frac{lnx}{x^2}\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{x^2\left(\frac{1}{x}\right)-(lnx)\left(2x\right)}{x^4}=\frac{1-2lnx}{x^3}\\ f^{\prime \prime }\left(x\right)& =\frac{x^3(-\frac{2}{x})-(1-2lnx)\left(3x^2\right)}{x^6}\\ & =\frac{-5x^2+6x^{2}lnx}{x^6}\\ & =\frac{-5+6lnx}{x^4}\end{array}$

(40) أجد قيمة المقدار: $x^4{f}^{\prime \prime }\left(x\right)+4x^3{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)+2x^{2}f\left(x\right)+1$ .

$\begin{array}{rl}& x^4{f}^{\prime \prime }\left(x\right)+4x^3{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)+2x^{2}f\left(x\right)+1\\ & =x^4\times \frac{-5+6lnx}{x^4}+4x^3\times \frac{1-2lnx}{x^3}+2x^2\times \frac{lnx}{x^2}+1\\ & =-5+6lnx+4-8lnx+2lnx+1=0\end{array}$