أتحقق من فهمي
الاشتقاق الضمني
العلاقة الضمنية ومشتقتها
أتحقق من فهمي صفحة 60
أجد لكلّ ممّا يأتي:
(a) x2 + y2 = 13
x2 + y2 = 13
2x + 2y = 0
= - = -
(b) 2x + 5y2 = sin y
2x + 5y2 = sin y
2 + 10y = cos y
(10y – cos y) = -2
=
أتحقق من فهمي صفحة 62
أجد لكلّ ممّا يأتي:
(a) 3xy2 + y3 = 8
3xy2 + y3 = 8
6xy + 3y2 + 3y2 = 0
= -
(b) tan (x – y) = 2xy3 + 1
tan (x – y) = 2xy3 + 1
(1 - ) sec2 (x – y) = 6xy2 + 2y3
sec2 (x – y) – sec2 (x – y) = 6xy2 + 2y3
(6xy2 + sec2 (x – y)) = sec2 (x – y) – 2y3
=
(c) x2 =
x2 =
2x =
2x (x + y)2 = x – x + y – y - x – x + y + y
2x = 2y – 2x (x + y)2
= =
أو يمكن تبسيط العلاقة قبل الاشتقاق كالآتي:
x2 = → x3 + x2y = x – y
→ 3x2 + x2 + 2xy = 1 -
→ + x2 = 1 – 3x2 – 2xy
→ (1 + x2) = 1 – 3x2 – 2xy
→ =
ميل المماس لمنحنى علاقة ضمنية
أتحقق من فهمي صفحة 63
(a) أجد ميل مماس منحنى العلاقة: y2 = ln x عند النقطة (e, 1).
y2 = ln x → 2y =
→ =
=
(b) أجد ميل العلاقة:(y – 3)2 = 4(x – 5) عندما x = 6 .
نجد قيمة y عندما x = 6 .
(y – 3)2 = 4(6 – 5) → (y – 3)2 = 4
→ y – 3 = 2
→ y = 5 or y = 1
باشتقاق طرفي العلاقة (y – 3)2 = 4(x – 5) بالنسبة إلى x ينتج أنّ:
2 (y – 3) = 4
=
ميل المماس عند النقطة الأولى هو:
= = -1
ميل المماس عند النقطة الثانية هو:
= = 1
معادلة المماس لمنحنى علاقة ضمنية
أتحقق من فهمي صفحة 65
أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: x2 + y3 – 3xy = 17 عند النقطة (2, 3).
x3 + y3 – 3xy = 17 → 3x2 + 3y2 - 3x - 3y = 0
بتعويض x = 2 ، و y = 3 ينتج أّن:
3(2)2 + 3(3)2 - 3(2) - 3(3) = 0
= -
ميل المماس هو: -
إذن معادلة المماس هي:
y – 3 = - (x – 2)
y = - x +
المشتقة الثانية للعلاقات الضمنية
أتحقق من فهمي صفحة 66
إذا كان: xy + y2 = 2x ، فأجد .
xy + y2 = 2x → x + y + 2y = 2
→ =
→ =
=
=
=
المشتقة الثانية للمعادلات الوسيطية
أتحقق من فهمي صفحة 67
أجد للمعادلة الوسيطية الآتية عندما t = 2 :
x = 3t2 + 1 , y = t3 – 2t2
= = = t -
= = =
=
الاشتقاق اللوغارتيمي
أتحقق من فهمي صفحة 69
أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي باستعمال الاشتقاق اللوغاريتمي:
(a) y = , x > 0
y = → ln y = ln
→ ln y = ln x
→ () = () + ln x
→ = + ln x → = + ln x
(b) y =
y = → ln y = ln
→ ln y = ln
→ ln y = (ln (x – 1) – ln (x4 + 1))
→ () = +
→ = ( + )
إعداد : شبكة منهاجي التعليمية
10 / 07 / 2023
النقاشات