أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

الاشتقاق الضمني

العلاقة الضمنية ومشتقتها

أتحقق من فهمي صفحة 60

أجد dydx لكلّ ممّا يأتي:

(a) x2 + y2 = 13

x2 + y2 = 13

2x + 2y dydx = 0

dydx = -2x2y = -xy

(b) 2x + 5y2 = sin y

2x + 5y2 = sin y

2 + 10y dydx = cos dydx

dydx(10y – cos y) = -2

dydx = -210y - cos y 


أتحقق من فهمي صفحة 62

أجد dydx لكلّ ممّا يأتي:

(a) 3xy2 + y3 = 8

3xy2 + y3 = 8

6xy dydx+ 3y2 + 3y2 dydx = 0

dydx = - 3y26xy + 3y2

(b) tan (xy) = 2xy3 + 1

tan (xy) = 2xy3 + 1

(1 - dydx) sec2 (xy) = 6xy2 dydx + 2y3

sec2 (xy) – sec2 (xydydx = 6xy2 dydx + 2y3

dydx(6xy2 + sec2 (x – y)) = sec2 (x – y) – 2y3

 dydx = sec2 (x - y) - 2y36xy2 + sec2 (x - y) 

(c) x2 = x - yx + y 

x2 = x - yx + y

2x = (x + y) (1 - dydx) - (x - y) (1 + dydx)(x + y)2

2x (x + y)2 = x – x dydx + y – y dydx - x – x dydx + y + y dydx

2x dydx = 2y – 2x (x + y)2

dydx = 2y - 2x (x + y)22x = y - x (x + y)2x

أو يمكن تبسيط العلاقة قبل الاشتقاق كالآتي:

x2 = x - yx + y   →    x3 + x2y = xy

→  3x2 + x2 dydx + 2xy = 1 - dydx

→   dydx + x2 dydx = 1 – 3x2 – 2xy

→   dydx (1 + x2) = 1 – 3x2 – 2xy

→  dydx = 1 - 3x2 - 2xy1 + x2


ميل المماس لمنحنى علاقة ضمنية

أتحقق من فهمي صفحة 63

(a) أجد ميل مماس منحنى العلاقة: y2 = ln x عند النقطة (e, 1).

y2 = ln x  →  2y dydx = 1x

→ dydx = 12xy

dydx (e, 1) = 12e

 

(b) أجد ميل العلاقة:(y – 3)2 = 4(x – 5)  عندما x = 6 .

نجد قيمة y عندما x = 6 .

(y – 3)2 = 4(6 – 5) →  (y – 3)2 = 4

→   y – 3 = ±2

→   y = 5 or y = 1

باشتقاق طرفي العلاقة (y – 3)2 = 4(x – 5) بالنسبة إلى x ينتج أنّ:

2 (y – 3) dydx= 4

dydx = 2y -3

ميل المماس عند النقطة الأولى هو:

  dydx (6, 1)21 -3 = -1

ميل المماس عند النقطة الثانية هو:

 dydx (6, 5)25 -3 = 1


معادلة المماس لمنحنى علاقة ضمنية

أتحقق من فهمي صفحة 65

أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: x2 + y3 – 3xy = 17 عند النقطة (2, 3).

x3 + y3 – 3xy = 17  →  3x2 + 3y2dydx - 3xdydx - 3y = 0

بتعويض x = 2 ، و y = 3 ينتج أّن:

3(2)2 + 3(3)2dydx - 3(2)dydx - 3(3) = 0

dydx (2, 3) = - 17

ميل المماس هو: 17 -

إذن معادلة المماس هي:

y – 3 = - 17(x – 2)

y = - 17 x + 237


المشتقة الثانية للعلاقات الضمنية

أتحقق من فهمي صفحة 66

إذا كان: xy + y2 = 2x ، فأجد d2ydx2 .

xy + y2 = 2x  →  xdydx + y + 2ydydx = 2

→ dydx = 2 - yx + 2y

→ d2ydx2 = (x + 2y) (-dy dx) - (2 - y) (1 + 2dy dx)(x + 2y)2

              = (x + 2y) (y - 2 x + 2y) - (2 - y) (1 + 22 - y x + 2y)(x + 2y)2

              = (x + 2y) (y - 2) - (2 - y) (x + 4)(x + 2y)3

              = 2xy - 4x + 2y2 - 8(x + 2y)3


المشتقة الثانية للمعادلات الوسيطية

أتحقق من فهمي صفحة 67

أجد d2ydx2 للمعادلة الوسيطية الآتية عندما t = 2 :

x = 3t2 + 1 , y = t3 – 2t2

dydx = dydtdxdt3t2 - 4t6t = 12 t - 23

d2ydx2 = ddt(dydt)dxdt126t = 112t 

d2ydx2 t=2 = 124


الاشتقاق اللوغارتيمي

أتحقق من فهمي صفحة 69

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي باستعمال الاشتقاق اللوغاريتمي:

(a) yxx , x > 0

yxx →  ln y = ln xx

→  ln yx ln x

→ 1y (dydx)  = x (1x) + 12x ln x

→  dydxyxy2 x ln x  →  dydxxxxxx2 x ln x

(b) y = x - 1x4 + 1

yx - 1x4 + 1  →  ln y  = ln x - 1x4 + 1

→  ln y12 ln x - 1x4 + 1

→  ln y12 (ln (x – 1) – ln (x4 + 1))

→  1y (dydx) = 12 (x - 1)2x3x4 + 1

→  dydx = (12 (x - 1) + 2x3x4 + 1) x - 1x4 + 1

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

النقاشات