أتدرب وأحل المسائل
الاشتقاق الضمني
أجد لكل ممّا يأتي:
(1) x2 – 2y2 = 4
2x – 4y = 0
=
(2) + =
+ =
+ = 0
= x = -
(3) (x2 + y2)2 = 50(x2 – y2)
2(x2 + y2) (2x + 2y) = 50(2x – 2y)
(yx2 + y3 + 25 y) = 25x – x3 – xy2
=
(4) ex y = xey
(ex) () + (y) (ex) = (x) (ey) + (ey) (1)
(ex – xey) = ey – yex
=
(5) 3x = y – 2xy
3x ln 3 = - 2x - 2y
(1 – 2x) = 2y + 3x ln 3
=
(6) + = 5
+ = 0
= =
(7) x = sec
1 = - sec tan
= = -y2 cos cot
(8) (sin πx + cos πy)2 = 2
2(sin πx + cos πy)1 (π cos πx - π sin πy) = 0
(π sin πy) (sin πx + cos πy) = (π cos πx) (sin πx + cos πy)
= =
(9) + = 5
+ = 5 → x2 + y4 = 5xy2
→ 2x + 4y3 = 10xy + 5y2
→ (4y3 – 10xy) = 5y2 – 2x
→ = =
(10) x + y = cos (xy)
1 + = - (x + y) sin xy
(-x sin xy – 1) = 1 + y sin xy
= -
(11) x2 + y2 = ln (x + y)2
2x + 2y =
x + y =
(xy + y2 – 1) = 1 – x2 – xy
=
(12) sin x cos y = x2 – 5y
(sin x) (-sin y ) + (cos y) (cos x) = 2x – 5
(sin x sin y – 5) = cos x cos y – 2x
=
أجد لكل ممّا يأتي عند القيمة المعطاة:
(13) 2y2 + 2xy – 1 = 0 , x =
أجد قيمة y عندما x = :
2y2 + 2() y – 1 = 0 → 2y2 + y – 1 = 0
→ (2y – 1) (y + 1) = 0 → y = , y = -1
باشتقاق طرفي العلاقة بالنسبة إلى x ينتج أّنّ:
4y + 2x + 2y = 0
=
= = -
= = -
(14) y3 + 2x2 = 11y , y = 1
أجد قيمة x عندما 1y = :
1 + 2x2 = 11 → x2 = 5 → x =
باشتقاق طرفي العلاقة بالنسبة إلى x ينتج أّنّ:
3y2 + 4x = 11
=
=
=
أجد ميل المماس لمنحنى كل علاقة ممّا يأتي عند النقطة المعطاة:
(15) x2 + y2 = 25 , (3, -4)
2x + 2y = 0
2(3) + 2(-4) = 0 → =
(16) x2 y = 4(2 – y), (2, 1)
x2 + 2xy = -4
4 + 2(2) (1) = -4 → = -
(17) esin x + ecos y = e + 1, (, )
esin x cos x – ecos y sin y = 0
cos – sin = 0 → = 0
(18) + = 5, (8, 1)
+ = 5
+ = 0
() + (1) = 0 → = -
أجد معادلة المماس لمنحنى كل علاقة ممّا يأتي عند النقطة المعطاة:
(19) x2 + xy + y2 = 13 , (-4, 3)
2x + x + y + 2y = 0
-8 – 4 + 3 + 6 = 0
ميل المماس هو:
=
معادلة المماس هي:
y – 3 = (x + 4) → y = x + 13
(20) x + y – 1 = ln (x2 + y2) , (1, 0)
1 + =
1 + = 2 → = 1
معادلة المماس هي:
y – 0 = 1(x - 1) → y = x - 1
أجد لكلٍّ ممّا يأتي:
(21) x + y = sin y
1 + = cos y
=
= = =
(22) 4y3 = 6x2 + 1
12y2 = 12x
=
= = =
(23) xy + ey = e
x + y + ey = 0
=
=
=
=
=
(24) أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى العلاقة: (x – 6)(y + 4) عند النقطة (7, -2).
إذن ميل العمودي على المماس هو:
معادلة العمودي على المماس هي:
(25) أثبت أنّ لمنحنى العلاقة: 3x2 + 2xy + y2 = 6 مماسين أفقيين، ثم أجد إحداثيي نقطتي التماس.
إذن للمنحنى مماسان أفقيان عند النقطتين (-1, 3) ، (1, -3).
(26) أجد إحداثيي نقطة على المنحنى: x + y2 = 1 بحيث يكون عندها مماس المنحنى موازياً للمستقيم: x + 2y = 0 .
ميل المستقيم:
النقطة المطلوبة هي (0, 1)
(27) أجد إحداثيي نقطة (نقاط) على المنحنى: y3 = x2 بحيث يكون عندها مماس المنحنى عمودياً على المستقيم: y + 3x = 0 .
ميل المستقيم: y + 3x – 5 = 0 هو -3 إذن ميل العمودي عليه يساوي:
النقطة المطلوبة هي (8, 4)
(28) إذا كان: ، حيث: ، فأثبت أنّ .
يمكن اختصار العامل المشترك من البسط والمقام؛ لأنه لا يساوي صفراً إلا إذا كان x = y وهذا لا يستق مع العلاقة الأصلية.
إعداد : شبكة منهاجي التعليمية
10 / 07 / 2023
النقاشات