أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

الاشتقاق الضمني

أجد dydx لكل ممّا يأتي:

(1) x2 – 2y2 = 4

2x – 4y dydx = 0

 dydx = x2y

(2) 1x2 + 1y2 = 110

1x2 + 1y2 = 110

-2xx4 + -2ydydxy4 = 0

dydx = 2xx4 x y4-2y = - y3x3

(3) (x2 + y2)2 = 50(x2y2)

2(x2 + y2) (2x + 2ydydx) = 50(2x – 2ydydx)

 dydx (yx2 + y3 + 25 y) = 25xx3xy2

dydx = 25x - x3 - xy2yx2 +y3 + 25y 

(4) ex y = xey

(ex) (dydx) + (y) (ex) = (x) (eydydx) + (ey) (1)

dydx (exxey) = eyyex

 dydx = ey - yexex - xey

(5) 3x = y – 2xy

3x ln 3 = dydx - 2x dydx - 2y

dydx (1 – 2x) = 2y + 3x ln 3

dydx = 2y + 3x ln 31 - 2x

(6) x + y = 5

12 x + dydx2 y  = 0

 dydx = -2 y2 x = -yx

(7) x = sec 1y

1 = - 1y2dydx sec 1y tan 1y

dydx-y2sec1y tan 1y = -y2 cos 1y cot 1y

(8) (sin πx + cos πy)2 = 2

 2(sin πx + cos πy)1 (π cos πx -  π sin πydydx) = 0

dydx(π sin πy) (sin πx + cos πy) = (π cos πx) (sin πx + cos πy)

dydx(π cos πx) (sin πx + cos πy)(π sin πy) (sin πx + cos πy) = cos πxsin πy

(9) xy2 + y2x = 5

xy2 + y2x = 5  →  x2 + y4 = 5xy2

→  2x + 4y3 dydx = 10xy dydx + 5y2

→  dydx (4y3 – 10xy) = 5y2 – 2x

→  dydx5y2 - 2x4y3 -10xy  =

(10)  x + y = cos (xy)

1 + dydx = - (x dydx + y) sin xy

dydx(-x sin xy – 1) = 1 + y sin xy

dydx = -1 + y sin xyx sin xy + 1

(11)  x2 + y2 = ln (x + y)2

2x + 2y dydx = 2(x + y) (1 + dydx)(x + y)2

x + y dydx = 1 + dydxx + y

dydx (xy + y2 – 1) = 1 – x2xy

dydx = 1 - x2 - xyxy + y2 - 1

(12)  sin x cos y = x2 – 5y

(sin x) (-sin y dydx) + (cos y) (cos x) = 2x – 5 dydx

dydx (sin x sin y – 5) = cos x cos y – 2x

dydx = cos x cos y - 2xsin x sin y - 5

 

أجدdydx لكل ممّا يأتي عند القيمة المعطاة:

(13) 2y2 + 2xy – 1 = 0 , x = 12

أجد قيمة y عندما x = 12 :

2y2 + 2(12) y – 1 = 0   →  2y2 + y – 1 = 0

→  (2y – 1) (y + 1) = 0  →  y12 , y = -1

باشتقاق طرفي العلاقة بالنسبة إلى x ينتج أّنّ:

4y dydx + 2x dydx + 2y = 0

dydx = -y2y + x

dydx (12, 12)  -122 x 12 + 12 = - 13

 dydx (12, -1) 1-2 + 12 = - 23

(14) y3 + 2x2 = 11y , y = 1

أجد قيمة x عندما 1y =  :

1 + 2x2 = 11 →  x2 = 5  →  x = ±5

باشتقاق طرفي العلاقة بالنسبة إلى x ينتج أّنّ:

3y2 dydx + 4x = 11dydx

dydx = 4x11 - 3y2

dydx (-5, 1) = -52

dydx (5, 1) = 52

 

أجد ميل المماس لمنحنى كل علاقة ممّا يأتي عند النقطة المعطاة:

(15) x2 + y2 = 25 , (3, -4)

2x + 2y dydx = 0

2(3) + 2(-4) dydx = 0  →  dydx (3, -4)= 34

(16) x2 y = 4(2 – y), (2, 1)

x2 dydx + 2xy = -4 dydx

dydx + 2(2) (1) = -4 dydx  →   dydx (2, 1)= -12

(17) esin x + ecos y = e + 1, (π2, π2)

esin x cos x – ecos y sin y dydx = 0

esin π2cos π2ecos π2 sin π2dydx = 0  →  dydx (π2, π2)= 0

(18)  x23+ y23 = 5, (8, 1)

x23 + y23 = 5

23 x-13 + 23 y-13 dydx = 0

23(12) + 23(1) dydx = 0   →  dydx (8, 1)= -12

 

أجد معادلة المماس لمنحنى كل علاقة ممّا يأتي عند النقطة المعطاة:

(19)  x2 + xy + y2 = 13 , (-4, 3)

2x + x dydx + y + 2y dydx = 0

-8 – 4 dydx + 3 + 6 dydx = 0

ميل المماس هو:

dydx (-4, 3) = 52

معادلة المماس هي:

y – 3 = 52 (x + 4) →  y52 x + 13

(20)  x + y – 1 = ln (x2 + y2) , (1, 0)

1 + dydx = 2x + 2y dydx x2 + y2

1 + dydx = 2  → dydx (1, 0) = 1

معادلة المماس هي:

y – 0 = 1(x - 1) →  yx - 1

 

أجد d2ydx2 لكلٍّ ممّا يأتي:

(21)  x + y = sin y

1 + dydx = cos y dydx

dydx = 1-1 + cos y

d2ydx2 = sin y dydx(-1 + cos y)2sin y (1-1 + cos y)(-1 + cos y)2 = sin y (-1 + cos y)3

(22)  4y3 = 6x2 + 1

12y2 dydx = 12x

dydx = xy2

d2ydx2 = y2 - 2xy dydxy4y - 2x (xy2)y3 = y3 - 2x2 y5

(23)  xy + ey = e

x dydx + y + ey dydx = 0

dydx = -yx + ey

d2ydx2 = (x + ey) (-dydx) + y (1 + ey dydx)(x + ey)2

         = (x + ey) (yx + ey) + y (1 + ey -yx + ey)(x + ey)2

         = (x + ey) (y) + y (x + ey - yey)(x + ey)3

         = 2xy +2yey - y2ey (x + ey)3

 

(24) أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى العلاقة: (x – 6)(y + 4) عند النقطة (7, -2).

(x6)(y+4)=2(x6)dydx+(y+4)=0(76)dydx+(2+4)=0dydx|(7,2)=2

إذن ميل العمودي على المماس هو: 12

معادلة العمودي على المماس هي:

y+2=12(x7)y=12x112

 

(25) أثبت أنّ لمنحنى العلاقة: 3x2 + 2xy + y2 = 6 مماسين أفقيين، ثم أجد إحداثيي نقطتي التماس.

3x2+2xy+y2=66x+2xdydx+2y+2ydydx=0dydx=3xyx+ydydx=03xyx+y=03xy=0y=3x3x2+2x(3x)+(3x)2=66x2=6x=±1

إذن للمنحنى مماسان أفقيان عند النقطتين (-1, 3) ، (1, -3).

 

(26) أجد إحداثيي نقطة على المنحنى: x + y2 = 1 بحيث يكون عندها مماس المنحنى موازياً للمستقيم: x + 2y = 0 .

x+y2=11+2ydydx=0dydx=12y

ميل المستقيم:

12y=12y=1x+(1)2=1x=0

النقطة المطلوبة هي (0, 1)

 

(27) أجد إحداثيي نقطة (نقاط) على المنحنى: y3 = x2 بحيث يكون عندها مماس المنحنى عمودياً على المستقيم: y + 3x = 0 .

y3=x23y2dydx=2xdydx=2x3y2,y0

ميل المستقيم: y + 3x – 5 = 0 هو -3 إذن ميل العمودي عليه يساوي: 13

2x3y2=132x=y2x=12y2y3=x2y3=14y41=14yy=4x=12(4)2x=8

النقطة المطلوبة هي (8, 4)

 

(28) إذا كان: xy+yx=10 ، حيث: xy0 ، فأثبت أنّ dydx=yx .

xy+yx=10,x0,y0yxdydxy22xy+xdydxyx22yx=0yxdydx2y2xy=yxdydx2x2yx(yxdydx)(x2yx)=(yxdydx)(y2xy)x2yyxx3yxdydx=y3xyxy2xydydx(xy2xyx3yx)dydx=y3xyx2yyxdydx=y3xyx2yyxxy2xyx3yx=y(y2xyx2yx)x(y2xyx2yx)=yx

يمكن اختصار العامل المشترك من البسط والمقام؛ لأنه لا يساوي صفراً إلا إذا كان x = y وهذا لا يستق مع العلاقة الأصلية.

 

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

النقاشات