مهارات التفكير العليا

مهارات التفكير العليا

المعادلات التفاضلية

تحد: أحل كلاً من المعادلات التفاضلية الآتية:

dydx=xy2xy1y2+y (33)

dydx=xy21y2+yxydydx=1y2(x1)y(x1)=(x1)(1y2y)dy1y2y=(x1)dxdy1y2y=(x1)dxy21y3dy=(x1)dx133y21y3dy=(x1)dx13ln|1y3|=12x2x+C

dydx=x2y12x3y2 (34)

dydx=x(12y123y2)=x(3y24y+26y27y+2)=x(y6y27y+2)6y27y+2ydy=xdx6y27y+2ydy=xdx(6y+72y)dy=xdx3y2+7y2ln|y|=12x2+C

dydx=1+tan2x+tan2y+tan2xtan2y (35)

dydx=1+tan2x+tan2y+tan2xtan2y=sec2x+tan2y(1+tan2x)=sec2x+tan2ysec2x=sec2x(1+tan2y)=sec2xsec2ydysec2y=sec2xdxdysec2y=sec2xdxcos2ydy=sec2xdx12(1+cos2y)dy=sec2xdx12(y+12sin2y)=tanx+C

تبرير: يمكن نمذجة معدل تحلل مادة مشعة بالمعادلة التفاضلية: dxdt=λx، حيث x الكتلة المتبقية من المادة المشعة بالمليغرام بعد t يوماً، و λ>0:

(36) أثبت أنه يمكن كتابة الحل العام للمعادلة التفاضلية في صورة: x=aeλt، حيث a ثابت، مبرراً إجابتي.

dxdt=λxdxx=λdtln|x|=λt+C

لكن الكمية x لا تكون سالبة، فتحذف رمز القيمة المطلقة.

lnx=λt+Cx=eλt+C=eλt×ec a ثابت ليكن eCx=aeλt

(37) إذا كان عمر النصف للمادة المشعة هو الوقت اللازم لتحلل نصف هذه المادة، وa كتلة المادة الابتدائية، فأثبت أنّ عمر النصف للمادة المشعة هو ln2λ، مبرراً إجابتي.

الكمية الابتدائية: x(0)=a

المطلوب: حساب الزمن الذي يكون عنده x=12a، نعوض:

12a=aeλt12=eλt2=eλtλt=ln2t=ln2λ

تبرير: تمثل المعادلة التفاضلية: dydx=2x3y ميل المماس لمنحنى علاقة ما:

(38) أجد قيمة n التي تجعل العلاقة: x2+ny2=a حلاً للمعادلة التفاضلية المعطاة، حيث a ثابت اختياري، مبرراً إجابتي.

dydx=2x3y

لكي تكون العلاقة x2+ny2=a حلاً للمعادلة التفاضلية المعطاة، يجب أن تحققها.

نشتق طرفي العلاقة بالنسبة للمتغير x 

2x+2nydydx=0dydx=xny

نعوض المشتقة في المعادلة التفاضلية:

xny=2x3y2nxy=3xyn=3xy2xy=32

(39) أجد إحداثيي نقاط تقاطع منحنى العلاقة مع المحور x إذا علمت أن منحناها يمر بالنقطة (5,4)، مبرراً إجابتي.

النقطة (5,4) تحقق المعادلة:

25+32(16)=aa=49x2+32y2=49

لإيجاد الإحداثي x لنقاط التقاطع منحنى العلاقة مع المحور x نضع y=0 في معادلتها

x2=0+49=49x=±7

إحداثيات نقطتي تقاطع العلاقة x2+32y2=49 مع المحور x هما (7,0),(7,0)

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

النقاشات