أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

المتجهات في الفضاء

أعيّن كلاً من النقاط الآتية في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد:

$(4, 5, 3)$ (1)

$(- 2, 3, - 5)$ (2)

$(4, 0, - 3)$ (3)

أجد الطول وإحداثيات نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة التي أعطي طرفاها في كل مما يأتي:

$(3, - 2, 8), (5, 4, 2)$ (4)

$\begin{aligned} A (3, - 2, 8), B (5, 4, 2) \\ A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} \\ = \sqrt{2^{2} + 6^{2} + (- 6)^{2}} = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19} \\ N = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}, \frac{z_{1} + z_{2}}{2}) = (\frac{3 + 5}{2}, \frac{- 2 + 4}{2}, \frac{8 + 2}{2}) = (4, 1, 5) \end{aligned}$

$(- 2, 7, 0), (2, - 5, 3)$ (5)

$\begin{aligned} A (- 2, 7, 0), B (2, - 5, 3) \\ \begin{aligned} A B & = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} \\ = \sqrt{16 + 144 + 9} = \sqrt{169} = 13 \\ N = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}, \frac{z_{1} + z_{2}}{2}) = (\frac{- 2 + 2}{2}, \frac{7 - 5}{2}, \frac{0 + 3}{2}) = (0, 1, \frac{3}{2}) \end{aligned} \end{aligned}$

$(12, 8, - 5), (- 3, 6, 7)$ (6)

$\begin{aligned} A (12, 8, - 5), B (- 3, 6, 7) \\ \begin{aligned} A B & = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} \\ = \sqrt{225 + 4 + 144} = \sqrt{373} \\ N = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}, \frac{z_{1} + z_{2}}{2}) = (\frac{12 - 3}{2}, \frac{8 + 6}{2}, \frac{- 5 + 7}{2}) = (\frac{9}{2}, 7, 1) \end{aligned} \end{aligned}$

$(- 5, - 8, 4), (3, 2, - 6)$ (7)

$\begin{aligned} A (- 5, - 8, 4), B (3, 2, - 6) \\ \begin{aligned} A B & = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} \\ = \sqrt{64 + 100 + 100} = \sqrt{264} = 2 \sqrt{66} \\ \begin{aligned} N & = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}, \frac{z_{1} + z_{2}}{2}) = (\frac{- 5 + 3}{2}, \frac{- 8 + 2}{2}, \frac{4 - 6}{2}) \\ = (- 1, - 3, - 1) \end{aligned} \end{aligned} \end{aligned}$

أمثل كلاً من المتجهات الآتية بيانياً في الفضاء:

$\vec{v} = ⟨ - 3, - 4, 5 ⟩$ (8)

حل 8

$\vec{m} = ⟨ 2, - 3, - 4 ⟩$ (9)

حل 9

$\vec{p} = ⟨ - 3, 5, - 2 ⟩$ (10)

حل 10

$\vec{e} = - 5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ (11)

حل 11

$\vec{A B} : A (4, 1, 1), B (- 3, 6, 3)$ (12)

حل 12

$\vec{G H} : G (1, - 3, 5), H (0, 4, - 2)$ (13)

حل 13

أجد الصورة الإحداثية والمقدار للمتجه $\vec{A B}$ الذي أعطيت نقطة بدايته ونقطة نهايته في كل مما يأتي:

$A (4, 6, 9), B (- 3, 2, 5)$ (14)

$\begin{aligned} \vec{A B} = ⟨ - 3 - 4, 2 - 6, 5 - 9 ⟩ = ⟨ - 7, - 4, - 4 ⟩ \\ | \vec{A B} | = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9 \end{aligned}$

$A (- 8, 5, 7), B (6, 3, 2)$ (15)

$\begin{aligned} \vec{A B} = ⟨ 6 - (- 8), 3 - 5, 2 - 7 ⟩ = ⟨ 14, - 2, - 5 ⟩ \\ | \vec{A B} | = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}} = \sqrt{196 + 4 + 25} = \sqrt{225} = 15 \end{aligned}$

$A (12, - 5, 4), B (4, 1, - 1)$ (16)

$\begin{aligned} \vec{A B} = ⟨ 4 - 12, 1 - (- 5), - 1 - 4 ⟩ = ⟨ - 8, 6, - 5 ⟩ \\ | \vec{A B} | = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}} = \sqrt{64 + 36 + 25} = \sqrt{125} = 5 \sqrt{5} \end{aligned}$

$A (24, - 8, 10), B (10, 6, 3)$ (17)

$\begin{aligned} \vec{A B} = ⟨ 10 - 24, 6 - (- 8), 3 - 10 ⟩ = ⟨ - 14, 14, - 7 ⟩ \\ | \vec{A B} | = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}} = \sqrt{196 + 196 + 49} = \sqrt{441} = 21 \end{aligned}$

(18) إذا كان OAB مثلثاً فيه: $\vec{A B} = \vec{b}, \vec{O A} = \vec{a}$ ، والنقطة C هي منتصف $\vec{A B}$ ، فأكتب المتجه $\vec{O C}$ بدلالة $\vec{a}$ و $\vec{b}$ .

$\begin{aligned} \bar{O C} & = \vec{O A} + \vec{A C} \\ = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{A B} \\ = \vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a}) = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \end{aligned}$

إذا كان: $\vec{e} = ⟨ - 3, 9, - 4 ⟩, \vec{f} = 5 \hat{i} - 3 \hat{j} + 7 \hat{k}, \vec{g} = ⟨ - 1, 8, - 5 ⟩$ ، فأجد كلاً مما يأتي:

$3 \vec{e} + 4 \vec{f}$ (19)

$\begin{aligned} 3 \vec{e} + 4 \vec{f} & = 3 ⟨ - 3, 9, - 4 ⟩ + 4 ⟨ 5, - 3, 7 ⟩ = ⟨ - 9, 27, - 12 ⟩ + ⟨ 20, - 12, 28 ⟩ \\ = ⟨ 11, 15, 16 ⟩ \end{aligned}$

$\vec{e} + \vec{f} - 3 \vec{g}$ (20)

$\begin{aligned} \vec{e} + \vec{f} - 3 \vec{g} & = ⟨ - 3, 9, - 4 ⟩ + ⟨ 5, - 3, 7 ⟩ - 3 ⟨ - 1, 8, - 5 ⟩ \\ = ⟨ 5, - 18, 18 ⟩ \end{aligned}$

$4 \vec{e} - 2 \vec{f} + 3 \vec{g}$ (21)

$\begin{aligned} 4 \vec{e} - 2 \vec{f} + 3 \vec{g} & = 4 ⟨ - 3, 9, - 4 ⟩ - 2 ⟨ 5, - 3, 7 ⟩ + 3 ⟨ - 1, 8, - 5 ⟩ \\ = ⟨ - 25, 66, - 45 ⟩ \end{aligned}$

$2 \vec{e} + 7 \vec{f} - 2 \vec{g}$ (22)

$\begin{aligned} 2 \vec{e} + 7 \vec{f} - 2 \vec{g} & = 2 ⟨ - 3, 9, - 4 ⟩ + 7 ⟨ 5, - 3, 7 ⟩ - 2 ⟨ - 1, 8, - 5 ⟩ \\ = ⟨ 31, - 19, 51 ⟩ \end{aligned}$

إذا كانت: $A (- 1, 6, 5), B (0, 1, - 4), C (2, 1, 1)$ نقاطاً في الفضاء، فأجد كلاً مما يأتي:

(23) متجه موقع كل من النقاط: A وB وC.

$\vec{O A} = ⟨ - 1, 6, 5 ⟩, \vec{O B} = ⟨ 0, 1, - 4 ⟩, \vec{O C} = ⟨ 2, 1, 1 ⟩$

(24) متجه الإزاحة من النقطة B إلى النقطة A.

$\vec{B A} = \vec{O A} - \vec{O B} = ⟨ - 1, 6, 5 ⟩ - ⟨ 0, 1, - 4 ⟩ = ⟨ - 1, 5, 9 ⟩$

(25) متجه الإزاحة من النقطة C إلى النقطة B.

$\vec{C B} = \vec{O B} - \vec{O C} = ⟨ 0, 1, - 4 ⟩ - ⟨ 2, 1, 1 ⟩ = ⟨ - 2, 0, - 5 ⟩$

(26) المسافة بين النقطة C والنقطة B.

$| \vec{B C} | = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}} = \sqrt{4 + 0 + 25} = \sqrt{29}$

أكتب كلاً من المتجهات الآنية بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:

$\vec{g} = ⟨ 5, 7, - 1 ⟩$ (27)

$\vec{g} = 5 \hat{i} + 7 \hat{ȷ} - \hat{k}$

$\vec{S T} : S (1, 0, - 5), T (2, - 2, 0)$ (28)

$\vec{S T} = (2 - 1) \hat{i} + (- 2 - 0) \hat{ȷ} + (0 - (- 5)) \hat{k} = \hat{ı} - 2 \hat{ȷ} + 5 \hat{k}$

$- \vec{a} + 3 \vec{b} : \vec{a} = 1 \hat{i} + 2 \hat{j} - 4 \hat{k}, \vec{b} = 4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ (29)

$- \vec{a} + 3 \vec{b} = - \hat{i} - 2 \hat{j} + 4 \hat{k} + 12 \hat{i} - 9 \hat{ȷ} + 15 \hat{k} = 11 \hat{i} - 11 \hat{ȷ} + 19 \hat{k}$

أجد متجه وحدة في اتجاه كل متجه مما يأتي:

$- 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$ (30)

$\begin{aligned} \vec{v} = - 4 \hat{i} + 3 \hat{ȷ} \\ | \vec{v} | = \sqrt{16 + 9} = 5 \\ \hat{v} = \frac{1}{5} \vec{v} = \frac{- 4}{5} \hat{i} + \frac{3}{5} \hat{ȷ} \end{aligned}$