إجابات كتاب التمارين

إجابات كتاب التمارين

التكامل بالتعويض

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(1) xx2+4 dx

u=x2+4dudx=2xdx=du2xxx2+4dx=xudu2x=12u12du=u12+C=x2+4+C

(2) (1cos x2)2sin x2 dx

u=1cosx2dudx=12sinx2dx=2sinx2du(1cosx2)2sinx2dx=u2sinx22sinx2du=2u2du=23u3+C=23(1cosx2)3+C

(3) csc5 xcos3 x dx

csc5xcos3xdx=cos3sin5xxdx=cot3xcsc2xdxu=cotxdudx=csc2xdx=ducsc2xcsc5xcos3xdx=cot3xcsc2xdx=u3csc2ducsc2x=u3du=14u4+C=14cot4x+C

(4) xsin x2 dx

u=x2dx=du2xxsinx2dx=12sinudu=12cosu+C=12cosx2+C

(5) x3(x+2)7 dx

u=x+2dx=du,x=u2x3(x+2)7dx=(u2)3u7du=(u106u9+12u88u7)du=111u1135u10+43u9u8+C=111(x+2)1135(x+2)10+43(x+2)9(x+2)8+C

(6) lnxx dx

lnxxdx=12lnxxdxu=lnxdudx=1xdx=xdulnxxdx=12lnxxdx=12udu=14u2+C=14(lnx)2+C

(7) exx dx

u=xdudx=12xdx=2xduexxdx=eux×2xdu=2eudu=2eu+C=2ex+C

(8) sin (ln 4x2)x dx

sin(ln4x2)xdx=sin(2ln2x)xdxu=2ln2xdudx=2xdx=x2dusin(ln4x2)xdx=sinux×x2du=12sinudu=12cosu+C=12cos(2ln2x)+C=12cos(ln4x2)+C

(9) sec2 x cos3 (tan x) dx

u=tanxdudx=sec2xsec2xdx=dusec2xcos3(tanx)dx=cos3udu=cosucos2udu=cosu(1sin2u)duv=sinudvdx=cosucosudx=dvcosu(1sin2u)du=(1v2)dv=v13v3+C=sinu13sin3u+C=sin(tanx)13sin3(tanx)+C

ملحوظة: يمكن إيجاد هذا التكامل بإعادة كتابته على الصورة:

sec2 xcos (tan x)(1sin2 (tan x)) dx

وبتعويض واحد فقط هو u = sin (tan x) .

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

6208x4x+1dx (10)

2511+x1dx (11)

0π/2sin2x1+cosxdx (12)

14(1+x)3xdx (13)

0π/4etanxcos2xdx (14)

0π/3cos2xsin3xdx (15)

منحنى الاقتران(16) يبين الشكل المجاور جزءاً من منحنى الاقتران: f(x)=xx+1.

أجد مساحة المنطقة المظللة في هذا الشكل.

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران f(x)، ونقطة يمر بها منحنى y=f(x) أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران f(x):

f(x)=16sinxcos3x;(π4,0) (17)

f(x)=xx2+5;(2,1) (18)

(19) يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران:v(t)=2t(1+t2)3/2، حيث t الزمن بالثواني، وv سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم هو 4 m، فأجد موقع الجسيم بعد t ثانية.

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

10 / 07 / 2023

النقاشات